Beste Antwort
„Die Summe aller reellen Zahlen“ ist in der konventionellen Mathematik nicht definiert, und ich bin mir nicht sicher dass es definiert werden könnte, ohne ernsthafte Probleme zu verursachen.
Das erste Problem ist, dass die Menge aller reellen Zahlen eine unzählige Menge ist, dh sie kann nicht in eine Eins-zu-Eins-Beziehung mit der Zählung gebracht werden Zahlen (dh 1, 2, 3, 4 usw.) Es gibt keine herkömmliche Definition der Summe der Mitglieder einer unzählbaren Menge, sondern der Summe der Mitglieder einiger zählbarer Mengen.
Angenommen, Sie haben eine zählbare Menge {x1, x2, x3,…. xn,…}. Sie können eine Teilsumme Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn definieren, d. H. Die Summe der ersten n Terme. Um sicherzustellen, dass bei der Neuordnung des Sets nichts schief geht, können Sie eine positive Teilsumme Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn / definieren. Wenn die Grenze (wenn n zur Unendlichkeit geht) der Reihe Pn existiert, existiert auch die Grenze der Reihe Sn (ist jedoch nicht dieselbe wie die Grenze von Pn, es sei denn, alle xn sind nicht negativ). Das heißt, Sie können sagen, dass die Summe aller Zahlen in unserer zählbaren Menge die Grenze der Reihe Sn ist.
Wenn die Menge also {1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2 ^ n,…}, Sie haben eine gut konvergente Reihe und die Summe der Mitglieder der Menge ist 1. Wenn Sie jedoch alle ganzen Zahlen (positiv und negativ) haben, haben Sie eine zählbare Menge {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, aber die Teilsummen konvergieren nicht – sie sind 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
Dieser Mangel an Konvergenz der ganzen Zahlen tritt trotz der Tatsache auf, dass jede positive ganze Zahl n eine entsprechende negative ganze Zahl hat, so dass Sie denken würden, dass sie sich aufheben. Sie werden jedoch nicht bei jeder alternativen Teilsumme storniert, und sie werden nicht storniert, wenn Sie das Set in einer anderen Reihenfolge nehmen, z. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
Die reellen Zahlen sind schlechter, da es keine Definition einer Summe der Menge gibt, da dies der Fall ist unzählige, und selbst wenn es eine gäbe, würde eine Änderung der Reihenfolge, in der Sie sie genommen haben, zu einem anderen Ergebnis führen, obwohl es für jede positive reelle Zahl eine entsprechende negative reelle Zahl gibt.
Antwort
Lösen wir es mit Gruppentheorie.
Sei G (\ mathbb {R}, +) eine Gruppe.
Sie hat additive Identität dh 0 und additive Inverse \ forall a \ in G ist -a.
Wenn wir nun alle Elemente dieser Gruppe hinzufügen, haben wir Paare einer Zahl und invers , die sich gegenseitig aufheben.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^ -} + 0, Wir können dies aufgrund der kommutativen und assoziativen Eigenschaft dieser spezielle Gruppe.
Wir haben die Menge \ mathbb {R} in \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^ -} und Identitätselement.
Schreiben wir den obigen Ausdruck als
= X + Y + 0
As 0 ist Identität, also ergibt
über dem Ausdruck
= X + Y
Nun \ forall a \ in X, a ^ {- 1} \ in Y
\ impliziert X = Y ^ {- 1}
\ impliziert Y = -X
\ impliziert X + Y = Identitätselement von G = 0.
Daher ist die Summe aller reellen Zahlen Null.