Beste Antwort
Die Summe der ersten 100 geraden Zahlen entspricht der Summe der ersten 100 aufeinanderfolgenden Zahlen, die verdoppelt wurden. Versuchen Sie beispielsweise zuerst einen kleineren Maßstab. Suchen Sie stattdessen die Summe der ersten 5 geraden Zahlen. Also:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 30
Beginnen Sie, Begriffe von jedem zu subtrahieren.
4 + 6 + 8 + 10 = 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5
6 + 8 + 10 = 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5
8+ 10 = 4 + 4 + 5 + 5
10 = 5 + 5
Dies macht Dinge erheblich einfacher. Wenn Sie immer noch die Summe der ersten 5 aufeinander folgenden Zahlen verwenden, sollten Sie sie wie folgt hinzufügen:
1 + 5 = 6
2 + 4 = 6
3 + 3 = 6
4 + 2 = 6
5 + 1 = 6
Sie haben also hier 5 Summen von 6. Sie haben auch doppelte Summen, und wenn Sie einfach wollte die Summe der ersten 5 aufeinanderfolgenden Zahlen, alles was Sie tun müssen, ist sie zu halbieren. Sie würden am Ende 5 Summen von 3 nach der Halbierung, oder 15.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Wie bereits gezeigt, ist die Summe der ersten n gerade Zahlen sind doppelt so hoch wie die Summe der ersten n fortlaufende Nummern, Wenn Sie also nicht halbieren, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.
Dies kann noch weiter vereinfacht werden. Eine einfache Formel zum Abrufen der Summe der ersten n aufeinander folgenden Zahlen lautet:
n (n + 1) / 2
Also 1 + 2 + 3 + 4 + 5 unter Verwendung dieser Formel wäre:
5 (6) / 2 = 15
Natürlich, um die Summe der ersten 5 gerade Zahlen, es ist fast die gleiche Formel.
n(n+1)
5 × 6 = 30
Um das Ergebnis für Ihre Frage zu erhalten, können Sie dieselbe Formel verwenden.
100 × 101 = 10100
Die Summe der ersten 100 geraden Zahlen ist also 10100.
Antwort
Schauen wir uns 0 bis 10
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
an. Lassen Sie uns nun 0 bis 20 und die nächste in Stücken von 20 Zahlen untersuchen.
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 110
22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34 + 36 + 38 + 40 = 310
42 + 44 + 46 + 48 + 50 + 52 + 54 + 56 + 58 + 60 = 510
Wie Sie sehen können, steigt die Gesamtzahl um jeweils 200 Zeit
2–20 110 kumulativ 110
22–40 310 kumulativ 420
42 – 60 510 kumulativ 930
62 – 80 710 kumulativ 1640
82 – 100 910 kumulativ 2550
102 – 120 1110 kumulativ 3660
122 – 140 1310 kumulativ 4970
142 – 160 1510 kumulativ 6480
162 – 180 1710 kumulativ 8190
182 – 200 1910 kumulativ 10100
Jede Zahl in der kumulativen Spalte erhöht sich
Sei n jeder Schritt in 20 s
Untersuchen wir nun die kumulierten Summen.
n = 1 Bereich obere Zahl = 20 Gesamt = 110
n = 2 Bereich obere Zahl = 40 Gesamt = 420
n = 3 Bereich obere Zahl = 60 Gesamt = 930
Von Inspektion nx 20 ist die obere Zahl des Bereichs und die Werte = die Hälfte des oberen Quadrats + die Hälfte des oberen Bereichs, z. B.
10 im Quadrat +10 = 110
100 im Quadrat +100 = 10100
Wir kommen also zu
kumulativer Summe = (10 xn) Quadrat + 10 xn für n = 10
n = 1 kumulative Summe = 110
n = 10 kumulative Summe = 10100
Dies wurde ohne vorherige Kenntnis der Gleichungen für Reihen-Summen aus ersten Prinzipien erreicht.
Schließlich sind die in der Frage erforderlichen Zahlen die Antwort 100 Quadrat +100 = 10100
Was ist nun mit ungeraden Zahlen?
Schauen wir uns 1–9 an, die Summe 25 – die Hälfte 9 ist 4,5. Also 4,5 Quadrat + 4,5 = 24,75, also 0,25 niedrig.
Es stellt sich heraus, dass in allen Bereichen immer 0,25 niedrig ist.
Für ungerade Zahlen lautet die Gleichung also:
Kumulative Summe = die Hälfte der quadratischen Endzahl + die Hälfte der Endzahl + 0,25
Nun wollen wir sehen, warum die Gleichung funktioniert.
Schauen wir uns noch einmal 0 an bis 10. Summe ist gleich n Quadrat + n = n (1 + n), wobei n in diesem Fall der Mittelwert 5 ist.
Das ist also 6 x 5 = 30.Die Summe = also der Mittelwert x der nächsthöhere Wert.
0 bis 500 haben also eine Summe von 250 x 251 = 62.750 gerade Zahlen und 62.750,25 für ungerade Zahlen
Mike