Was ist die Summe der Quadratwurzeln der ersten n natürlichen Zahl?

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Ich denke, der Wert dieser Summe (die mit bezeichnet wird) \; \; S \; \; ist ungefähr \; \; \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;

Es kann wie folgt begründet werden:

\; \; A (n) \; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}. \ big (\; (n + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; – \; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big) \; \; \; gibt die Fläche unter der Kurve an \; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;, \; X-Achse und die Ordinaten bei \; \; x \; = \; 1 \; \; und \; \; x \; = \; n + 1 \ ;. \; ….. …………. (1)

Die erforderliche Summe \; \; S (n) \; \; kann als Fläche von \; \; n interpretiert werden \; \; rechteckige vertikale Balken mit der Breite \; \; 1 \; \; der Höhe \; \; \ sqrt {j} \; \; errichtet auf der \; \; X – \; \; Achse, wobei \; \; j \ ; = \; 1,2,3, .., n \; \; (die vertikalen Seiten des \; \; j ^ {th} \; \; Rechtecks sind Teile der Ordinaten bei \; \; x = j \; \; und \; \; x = j + 1 \ ; \;)

Um eine gute Annäherung zu erhalten, müssen wir den Fehlerterm \; \; E (n) \; = \ subtrahieren; der Bereich zwischen der Kurve und den rechteckigen Balken aus (1).

Beachten Sie, dass \; \; E (n) \; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n} \; \ big (\; \ sqrt {j + 1} \; – \; \ sqrt {j} \; \ big) \; = \; \; \ sqrt {n + 1} \; – \; 1 \ ; \; …………………. (2)

Bei Vereinfachung erhalten wir \; \; S (n) \; \ ungefähr \; A (n) \; – \; E (n) \; = \; \ frac {2} {3}. \ Big (\; (n-2) \ sqrt {n + 1} \; – \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big) \; + \; 1 \; \;