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Der Del-Operator ist eine Möglichkeit, die Ableitung eines Vektors zu finden. Möglicherweise kennen Sie die Ableitung für Skalarfunktionen, die durch die Form
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f „(x)
wobei f (x) eine Funktion von x ist, f „(x) seine Ableitung ist und \ frac {d} {dx} der Begriff ist, der uns sagt, dass wir die Ableitung an erster Stelle nehmen sollen. Sie können sich \ frac {d} {dx} als den Ableitungsoperator vorstellen, weil er Ihnen sagt, dass Sie eine Ableitung des Objekts nehmen sollen, neben dem es sich befindet.
Nun möchten wir dies auch tun für Vektoren, meistens diejenigen, die in kartesischen Koordinaten dargestellt werden (Funktionen von x, y und z). Warum? Weil viele physikalische Phänomene (wie elektrische oder Gravitationsfelder) als Vektoren beschrieben werden können und die Änderungen dieses Phänomens (und damit der Ableitungen) wichtig sind.
Wie nehmen wir also die Ableitung eines Vektors? ? Wir verwenden den Del-Operator. Da wir es mit Vektoren verwenden möchten, muss es selbst ein Vektor sein. Und da wir es für alle drei kartesischen Koordinaten und nicht nur für x verwenden möchten, wird es mehr Buchstaben haben. Letztendlich sieht der Del-Operator unserem obigen Derivat-Operator sehr ähnlich, jedoch mit einigen weiteren Begriffen:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partiell} {\ partiell x } + {\ hat y} \ frac {\ partiell} {\ partiell y} + {\ hat z} \ frac {\ partiell} {\ partiell z}
Das \ nabla nennen wir das Del Operator, obwohl das Symbol offiziell ein „Nabla“ ist; Mir wurde ehrlich gesagt gerade beigebracht, dass es ein verkehrtes Delta heißt! Neben nur einer Ableitung in Bezug auf x nehmen wir jetzt auch partielle Ableitungen in Bezug auf y und z. Wenn wir eine partielle Ableitung nehmen, behandeln wir nur alle Variablen außer einer als Konstanten und nehmen die Ableitung in Bezug auf unsere gewählte Variable.
Da es nun zwei Möglichkeiten gibt, Vektoren zu multiplizieren, erhalten wir natürlich zwei Möglichkeiten, eine Vektorableitung zu nehmen. Die beiden Möglichkeiten zum Multiplizieren von Vektoren sind das Punktprodukt und das Kreuzprodukt ; Das Ergebnis jeder Multiplikation ist ein Skalarwert bzw. ein Vektorwert.
Ein Beispiel unter Verwendung des Punktprodukts berechnet die Divergenz des elektrischen Feldes:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Hier nehmen wir eine Ableitung unter Verwendung des Punktprodukts und belassen den Skalarwert {\ rho} \_v, der die Volumenladungsdichte in ist eine Region.
Ein Beispiel für die Verwendung des Kreuzprodukts ist die Berechnung der Krümmung des elektrischen Feldes:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Hier nehmen wir eine Ableitung unter Verwendung des Kreuzprodukts und belassen den Vektorwert \ mathbf {B} (genauer gesagt seine zeitliche Ableitung).
Der Del-Operator ist jedoch auch außerhalb von Vektoren nützlich. Wenn wir den Del-Operator nur als eine Summe von drei verschiedenen Dingen behandeln, können wir ihn mit einer Skalarfunktion multiplizieren, und diese Funktion wird über das Ganze verteilt:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partielles f (x, y, z)} {\ partielles x} + {\ hat y} \ frac {\ partielles f (x, y, z)} {\ partielles y} + {\ hat z} \ frac {\ partielles f (x, y, z)} {\ partielles z}
In diesem Fall haben wir einen Skalar in einen Vektor verwandelt! Dies wird als „Gradient“ der Skalarfunktion bezeichnet. Es sagt Ihnen, in welche Richtung sich die Funktion am schnellsten ändert. Dies wird häufig für potenzielle Felder verwendet, die die Form annehmen:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
wobei \ mathbf {U} eine potentielle Energie (wie eine Feder oder Schwerkraft) ist und F die Kraft ist, die sich aus der Platzierung in diesem Feld ergibt. Es ist immer noch eine Vektorableitung, wie wir den Del-Operator bereits beschrieben haben. Es handelt sich lediglich um die Vektorableitung eines Skalars anstelle der Vektorableitung eines Vektors. Ja, die gibt es auch!
Und es geht weiter. Möglicherweise haben Sie den Begriff {\ nabla} ^ 2 gesehen. Dies ist als Laplace bekannt und wird in Dingen wie der Wellengleichung gesehen. Im Wesentlichen wird der Del-Operator nur zweimal hintereinander verwendet. Es kann in andere Koordinatensysteme mit mehr Variablen erweitert oder auf zwei oder eine Dimension reduziert werden. Es ist ein sehr wichtiges Konzept und wird in nahezu allen Bereichen der Physik verwendet!
Antwort
Der del-Operator (manchmal auch als Nabla bezeichnet) ist wie folgt definiert: in kartesischen Koordinaten :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partiell} {\ partiell x} \ hat {i} + \ frac {\ partiell} {\ partielles y} \ hat {j} + \ frac {\ partielles} {\ partielles z} \ hat {k}
Was die physikalische Bedeutung betrifft?
Der del-Operator fungiert als Vektor-Kalkül-Äquivalent einer räumlichen Ableitung. Dem del-Operator sind drei Arten von Derivaten zugeordnet. Nehmen wir an, A ist ein Vektor und \ phi ist ein Skalar.
Der Gradient: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle x} \ hat {i} + \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle y} \ hat {j} + \ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle z} \ hat {k}
Die Divergenz: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partielle A\_x} {\ partielle x} + \ frac {\ partielle A\_y} {\ partielles y} + \ frac {\ partielles A\_z} {\ partielles z}
Die Curl: curl (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partiell} {\ partiell x} & \ frac {\ partiell} {\ partiell y} & \ frac {\ partiell} {\ partiell z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Jede dieser Arten von Derivaten hat interessante Eigenschaften, die Sie selbst googeln können.
Hoffe, das hilft!
Hinweis: Alle diese Gleichungen unterscheiden sich in anderen Koordinatensystemen (z. B. sphärisch, zylindrisch). . Sei vorsichtig!