Beste Antwort
Die meisten Sequenzen, auf die Sie stoßen, werden durch eine Formel für n- -ter Term: a\_n = f (n) wobei f eine Funktion ist, die aus arithmetischen Operationen, Potenzen, Wurzeln, Potenzierungen, Protokollen und manchmal anderen Funktionen aufgebaut ist. Die Frage ist, was passiert, wenn n sich der Unendlichkeit nähert. Ist \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) eine endliche Zahl, dh konvergiert die Sequenz oder passiert etwas anderes? Divergiert es zu \ infty oder zu – \ infty, pendelt es zwischen zwei verschiedenen Zahlen oder bricht alles Chaos los?
Wenn Sie „nicht an Sicherheit interessiert sind, aber mit einer Antwort zufrieden sind, die“ Wenn dies in den meisten Situationen richtig ist, können Sie einfach a\_ {1000} oder einen anderen Ort außerhalb der Sequenz berechnen. Bei den meisten Sequenzen, auf die Sie stoßen, sollte dies Ihre Frage beantworten.
Aber das ist nicht Ihre Frage. Sie möchten wirklich wissen, ob die Sequenz konvergiert oder nicht. Sie möchten Sicherheit, und wenn möglich, möchten Sie Um zu wissen, zu welcher Zahl es konvergiert. Leider sind die Formen, die Sequenzen annehmen können, unbegrenzt. Das Beste, was Sie tun können, ist, mehrere Prinzipien zu haben, die sich um die meisten Fälle kümmern. Hier sind einige Prinzipien.
- Rationale Funktionen , dh Quotienten von Polynomen wie a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Sie können sehen, was passieren wird, wenn Sie den Zähler und den Nenner durch die höchste Potenz von n teilen, die vorhanden ist. Sie können alles in einem Satz zusammenfassen: Wenn der Grad des Zählers der gleiche ist wie der Grad des Nenners, dann konvergiert die Sequenz gegen das Verhältnis der führenden Koeffizienten (4/3 im Beispiel), wenn der Nenner einen höheren Grad hat, dann konvergiert die Sequenz gegen 0, wenn der Zähler eine hohe hat r Grad, dann divergiert die Sequenz zu \ infty, wenn die führenden Koeffizienten das gleiche Vorzeichen haben, oder zu – \ infty, wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben.
- Quotienten von algebraischen Funktionen, die Wurzeln wie a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}} beinhalten. Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch eine Bruchkraft von n. In diesem Beispiel reicht \ sqrt n aus.
- Kompositionen , z. B. a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. Die äußere Funktion, Sinus, ist eine stetige Funktion, und stetige Funktionen bewahren Grenzen. In diesem Fall haben wir \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, also nähert sich die ursprüngliche Sequenz \ sin0 = 0. Betrachten Sie stattdessen a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}. Hier haben wir \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty, und \ sin x oszilliert zwischen –1 und 1 als x \ to \ infty, sodass diese Sequenz keine Begrenzung hat.
- Relative Wachstumsordnungen . Häufig haben Sie a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)}, wobei sowohl f (n) \ bis \ infty als auch g (n) \ bis \ infty. Was mit dem Quotienten passiert, hängt davon ab, ob die Zähler oder Nenner wächst schneller. Ich werde das Symbol \ prec verwenden, um anzuzeigen, dass einer viel langsamer wächst als der andere, dh f \ prec g bedeutet \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. Es ist nützlich, einige davon zu kennen, und das tun Sie auch. Zum Beispiel n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Dies sind alles Beispiele für Polynome, aber Sie sollten einige andere Funktionen kennen \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L „Hôpital“ -Regel . Obwohl Sequenzen diskret sind, wenn die kontinuierliche Grenze konvergiert oder wenn sie gegen plus oder minus unendlich divergiert, dann so Wenn Sie beispielsweise „a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} haben und die oben genannten Befehle nicht verwendet haben, können Sie L“ Hôpital „verwenden. s Regel. Da in der Grenze \ lim\_ {x \ bis \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x} der Zähler und der Nenner sich beide der Unendlichkeit nähern, ist diese Grenze dieselbe wie die Begrenzen Sie, wo Sie den Zähler und den Nenner durch ihre Ableitungen ersetzen, \ lim\_ {x \ bis \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, und wenn immer noch nicht klar ist, was passiert, da dies auch von ist In der Form \ infty / \ infty können Sie die Regel ag von L „Hôpital“ verwenden ain.
- Die spezielle Grenze für e ^ x. Manchmal wird dies als Definition der Exponentialfunktion verwendet. Es lohnt sich zu wissen und es kommt häufig in nützlichen Sequenzen vor. (1 + x / n) ^ n \ bis e ^ x
Ich bin sicher, es gibt mehr Techniken. Vergessen Sie nicht, die Verwendung der Algebra zu vereinfachen.
Antwort
Nur wenige Tests zum Testen der Konvergenz von Sequenzen.
1. Geben Sie eine Sequenz a\_n und an Wenn wir eine Funktion f (x) haben, so dass f (n) = a\_n und \ lim\_ {n \ bis \ infty} f (x) = L, dann ist \ lim\_ {n \ bis \ infty} a\_n = L
2. Wenn \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0, dann ist \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. Die Sequenz {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty konvergiert, wenn -1 \ ler \ le1.
4. Für eine Sequenz \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L, dann konvergiert a\_n mit der Grenze L.
Quelle: Pauls Online-Hinweise: Kalkül II