Was ist ein Raumdiagramm und ein Vektordiagramm?

Beste Antwort

Wird anhand eines Beispiels erläutert. Die Abbildung zeigt ein Fachwerk, das wie gezeigt geladen und unterstützt wird. Unser Interesse ist es, Reaktionen und Kräfte in allen Mitgliedern eines Fachwerks herauszufinden. Die Reaktionen und die Kräfte in den Elementen hängen nicht nur von der Größe und Richtung der ausgeübten Kräfte ab, sondern auch von ihrer Position, d. H. Den Angriffspunkten. Das Raumdiagramm kümmert sich um den Angriffspunkt und die Geometrie des Fachwerks.

Die oben gezeigte Abbildung ist nur um die Reaktionen zu bekommen. Die angelegte Kraft P\_1 ist ab und die Kraft P\_2 ist bc im Vektordiagramm. Die Reaktion R\_1 ist gleich da und die Reaktion R\_2 ist gleich cd im Vektordiagramm.

Wir können mit dem Raumdiagramm und dem Vektordiagramm fortfahren, um die Kräfte in allen Elementen zu berechnen. Dies wird hier nicht getan, um die Abbildung sehr einfach zu verstehen.

Die Gleichgewichtsbedingung ist erfüllt, wenn das Vektordiagramm und das Standseilbahnpolygon geschlossen werden.

Antwort

Es ist nicht ganz klar, was „Positionen“ hier bedeutet, aber ich denke, eine Antwort könnte sein, dass Vektoren keine Positionen haben, aber Vektorräume Positionen haben können, und diese beiden Ideen decken die Anwendungen ab.

I Ich gehe hier davon aus, dass sich das Fehlen von „Positionalität“ in der Frage auf die Tatsache bezieht, dass parallele „Pfeile“ gleicher Länge und Ausrichtung denselben Vektor darstellen. Es gibt zahlreiche Gründe für die Einführung dieser Konvention.

• Eine der Grundideen, die der grundlegenden Vektorverwendung zugrunde liegen, ist das Konzept einer Verschiebung Dies ist auch die Quelle für Geschwindigkeit, Beschleunigung und (über F = ma) Kraft. Verschiebungen haben keine Position, vielmehr gibt es an jeder Position eine mögliche Verschiebung einer bestimmten Richtung und Größe. Wenn wir „Kopf zehn Meilen nordwestlich“ sagen, ist dies eine Verschiebungsanweisung, die überall gilt und nicht nur an einem bestimmten Ort.
• Verschiebungen können kombiniert werden, aber nur, wenn die zweite Verschiebung dort beginnt, wo die erste endet . Wenn die Verschiebungen durch Pfeile dargestellt werden, muss einer der Pfeile verschoben werden, um die kombinierte Verschiebung zu erhalten, um eine Tail-to-Head-Konfiguration für die kombinierte Verschiebung zu erhalten. Dies wäre natürlich nicht sinnvoll, wenn der übersetzte Pfeil nicht weiterhin dieselbe Verschiebung darstellen würde.
• Die Erfahrung mit dem Verhalten von Kräften erfordert die Fähigkeit, Kraftpfeile zu verschieben, da in Bezug auf Kräfte verhalten sich Objekte so, als ob ihre gesamte Masse in ihrem Schwerpunkt konzentriert ist und alle Kräfte auf diesen Punkt wirken. (Ich habe hier mit meiner kursiven Sprache vorsichtig umgegangen, da beim Einführen von Drehmomenten etwas anderes passiert!)

Die mathematische Abstraktion, die all diese Situationen abdeckt, ist der Vektorraum. Wenn wir Pfeile benötigen, die sich überall befinden können, legen wir dem Satz von Pfeilen eine Äquivalenzbeziehung auf, sodass zwei Pfeile äquivalent sind, wenn sie parallel sind und dieselbe Richtung haben. („Gleiche Richtung“ hat einen intuitiven Inhalt, dessen Systematisierung etwas schwierig ist.) Ein -Vektor wird dann zu Eine Äquivalenzklasse von Pfeilen, und Vektoraddition wird definiert, indem „bequeme“ Klassenvertreter genommen und entweder über das Tail-to-Head- oder das Parallelogrammgesetz hinzugefügt werden.

Die Verwendung von Äquivalenzklassen und ihre Vertreter sollten überhaupt nicht eigenartig erscheinen; Genau das machen wir mit Brüchen. Ein „Bruch“ kann als eine Äquivalenzklasse von Symbolen a / b (b \ ne 0) unter der Äquivalenzbeziehung a / b \ äquiv (na) / (nb) betrachtet werden. Wenn wir zwei „Brüche“ hinzufügen möchten, wurzeln wir in ihren jeweiligen Äquivalenzklassen, bis wir zwei Vertreter mit demselben Nenner finden, und fügen dann die Zähler hinzu. Die Vektoraddition ist dazu sehr analog. Darüber hinaus gibt es bei Brüchen eine „bevorzugte“ Gruppe von Klassenvertretern, die Brüche „in niedrigsten Begriffen“. Für Vektoren gibt es auch eine „bevorzugte“ Klasse von Vertretern, die Vektoren, deren Schwänze am Ursprung liegen, und diese werden als abstrakte Elemente eines Vektorraums angesehen, wenn die Pfeilanalogie im Spiel ist.

Nun gibt es Situationen, in denen es wirklich darauf ankommt, wo sich der Pfeil befindet. Das Bewegen des Pfeils macht keinen Sinn, und Pfeile an verschiedenen Punkten können und sollten nicht hinzugefügt werden. Eine Wetterkarte mit Pfeilen, die Windgeschwindigkeiten an verschiedenen Orten darstellen, ist ein solches Beispiel. Die zuvor erwähnten Drehmomente sind ebenfalls ein Beispiel; Die Position einer Kraft relativ zum Schwerpunkt ist wichtig, und der Kraftpfeil kann nicht auf einen anderen Punkt verschoben werden, ohne das resultierende Drehmoment zu ändern. (Beachten Sie übrigens, dass die Drehmomente selbst Vektoren sind, die hinzugefügt werden können.) Für ein allgemeines mathematisches Beispiel besteht das Gradientenfeld eines Skalarfelds aus Pfeilen, die an bestimmten Stellen befestigt sind und nicht willkürlich übersetzbar sind.

Eine elementare Beobachtung dieser positionsabhängigen Vektoren ist der übliche Vektor Raumgesetze (Addition und Skalarmultiplikation) gelten weiterhin für alle Vektoren an einer festen Position . Dies sagt uns, dass die „Lösung“ für das positionsabhängige Rätsel darin besteht, an jedem Punkt des betreffenden Raums einen gesamten Vektorraum zu platzieren. Die resultierenden Räume sind Wird normalerweise als Tangentenräume bezeichnet, da der Tangentenraum an einem Punkt als die Menge aller Geschwindigkeitsvektoren für parametrisierte Pfade durch diesen Punkt betrachtet werden kann (unter der Annahme einer ausreichenden Differenzierbarkeit für die Beschreibung, um Sinn zu machen).

Die Sammlung aller Tangentenräume wird als Tangente bundle, und wenn Sie nun an jedem Punkt Ihres Raums einen positionsabhängigen Vektor benötigen, benötigen Sie eine Karte vom Raum zum Tangentenbündel, die genau einen Vektor in jedem Tangentenraum bei auswählt verschiedene Punkte; Eine solche Karte wird als Abschnitt des Bündels bezeichnet, und die resultierende Sammlung positionsabhängiger Vektoren wird als Vektorfeld auf dem ursprünglichen Raum.

Auf diese Weise bekommen wir unseren Kuchen und essen ihn auch; Vektoren haben keine „Positionen“, aber Vektorräume.