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Ein kontravarianter Tensor von Rang 2 ist symmetrisch, wenn er unter Permutation seiner Indizes invariant ist. Seine Komponenten ändern sich beim Austausch der Indizes nicht und erfüllen die folgenden Anforderungen:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
In ähnlicher Weise ist ein kovarianter Tensor von Rang 2 symmetrisch Wenn es unter Permutation seiner Indizes invariant ist und seine Komponenten die folgenden Bedingungen erfüllen:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tensoren mit Rang 2 können normalerweise durch Matrizen dargestellt werden Die Symmetrie eines Tensors hängt also im Wesentlichen mit der Symmetrie der ihn darstellenden Matrix zusammen. Es ist bekannt, dass, wenn die Einträge einer symmetrischen (quadratischen) Matrix als A = (a\_ {pq}) ausgedrückt werden, a\_ {pq} = a\_ {qp} für alle Indizes p und q gilt. Die symmetrische Matrix ist gleich ihrer Transponierten ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Beispiele für symmetrische Tensoren zweiten Ranges umfassen den metrischen Tensor g \_ {\ mu \ nu} oder der Cauchy-Spannungstensor ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}), der in Matrixform geschrieben werden kann als:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {Matrix} \ Sigma \_ {11} & \ Sigma \_ {12} & \ Sigma \_ {13} \\\ Sigma \_ {21} & \ Sigma \_ {22} & \ Sigma \_ {23} \\\ Sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Wenn wir zum Beispiel einen höherrangigen Tensor der Form
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr haben } = T\_ {qs} ^ {pmr},
der Tensor soll in m und p symmetrisch sein.
Ein Tensor, der in Bezug auf zwei beliebige Kontravarianten und alle symmetrisch ist Zwei kovariante Indizes werden als symmetrisch bezeichnet.
Ein Tensor wird als schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch bezeichnet, wenn
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Im allgemeinen Fall ein symmetrischer Tensor ist ein Tensor, der unter einer Permutation seiner Vektorargumente invariant ist:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
für jede Permutation σ der Symbole {1, 2, …, r }. Alternativ kann ein symmetrischer Tensor der Ordnung oder des Ranges r in Koordinaten als Größe mit r dargestellt werden Indizes erfüllen
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Antwort
Matrizen sind rechteckige Arrays von Elementen aus einem Feld (normalerweise \ mathbb {R} oder \ mathbb {C}, aber nicht immer) mit einem Operation der Multiplikation mit einer anderen Matrix und Multiplikation mit einem definierten Feldelement.
Matrizen werden verwendet, um eine große Anzahl verschiedener Dinge darzustellen:
- Koeffizienten linearer Gleichungen
- lineare Transformationen (bei einem bestimmten geordneten Satz von Basisvektoren)
- Änderung der Basis von Vektorräumen (bei zwei geordneten Sätzen von Basisvektoren)
- Tensoren (speziell bei Ordnung 2) Tensoren)
- bestimmte Gruppen
- usw.
Einige dieser Verwendungen können verwirrt werden: bei einer nicht singulären quadratischen Matrix ohne Kontext, Es ist unmöglich zu sagen, ob es sich um eine lineare Transformation (oder auf welcher Basis), eine Änderung der Basis oder einen Tensor handelt.
Kurz gesagt, Matrizen sind sehr allgemein.
Tensoren sind multilineare Funktionale auf Vektoren und Funktionalen (duale Vektoren). Mit anderen Worten, ein Tensor der Ordnung n + m ist eine Funktion für n Vektoren und m Doppelvektoren, die eine reelle oder komplexe Zahl zurückgibt und für alle ihre Argumente linear ist.
Tensoren für endlich dimensionale Vektorräume kann durch eine n + m-dimensionale Anordnung von Elementen aus dem Feld des Vektorraums dargestellt werden, und für Tensoren der Ordnung 2 wird dies häufig als Matrix dargestellt. Wie die Matrixdarstellung linearer Transformationen hängt die mehrdimensionale Arraydarstellung eines Tensors von der verwendeten Basis ab.
Tensoren werden häufig beschrieben, verwendet und manchmal sogar definiert in Bezug auf mehrdimensionale Anordnungen von Feldelementen, vorbehaltlich der Einschränkung, wie sich der Tensor in Bezug auf differentielle Änderungen in den Basisvektoren transformiert. Aber in ihrem Herzen sind sie multilineare Funktionale auf Vektoren und lineare Funktionale.