Beste Antwort
Da dies unter dem Thema Software Engineering gestellt wird, können wir möglicherweise die Darstellung diskutieren.
Acht Datenbits (wobei ein Bit ein Schalter ist, der eine 1 oder eine 0 darstellt) können eine vorzeichenlose Ganzzahl wie folgt enthalten:
0 = 00000000
1 = 00000001
2 = 00000010
4 = 00000100
8 = 00001000
16 = 00010000
256 = 10000000
511 = 11111111
Unsere 8 Datenbits können also eine vorzeichenlose Ganzzahl von bis zu 255 und enthalten so klein wie 0. Für reale Anwendungen sind jedoch möglicherweise sowohl negative als auch positive Zahlen erforderlich.
Um vorzeichenbehaftete Ganzzahlen zu berücksichtigen, müssen wir einen Teil unseres Speichers aufgeben. Es gibt mehrere Schemata, die dies tun.
Das einfachste Schema wäre, das erste Bit zur Darstellung des Vorzeichens zu verwenden (sagen wir, Null ist positiv und 1 ist negativ). Dies hat die amüsante Folge, einen positiven und einen negativen Nullwert zu haben.
+ 0 = 00000000
- 0 = 10000000
1 = 00000001
- 1 = 10000001
+ 2 = 00000010
- 2 = 10000010
+ 64 = 01000000
- 64 = 11000000
+127 = 01111111
Auf diese Weise können wir Zahlen von speichern -127 bis +127, das sind 255 Zahlen (einschließlich 0).
Eine andere Möglichkeit, dies zu tun, ist die Verwendung des sogenannten Einsen-Komplements Lagerung. Hierzu ist die negative Zahl die entgegengesetzte Bitfolge zur positiven Zahl.
Zum Beispiel:
0 = 00000000
0 = 11111111
2 = 00000010
- 2 = 11111101
Mit Arithmetik mit negativen Zahlen können wir die beiden Zahlen addieren. Zum Beispiel wird 2 + -2 zu
+ 2 = 00000010
-2 = 11111101
--------------
= 11111111
, die wir zuvor gesehen haben, war Null. Der Bereich, den wir in dieser Darstellung mit 8 Bits speichern können, sind also die ganzen Zahlen zwischen -127 und +127 oder 255 Zahlen (da wir Null als einzelne Zahl einschließen).
Da das Negativ von Null Null ist gibt es noch zwei Darstellungen von Null. Das ist etwas verschwenderisch. Um dies zu umgehen, wird Zweierkomplement verwendet. Das nimmt die negative Einser-Komplement-Zahl und addiert eine. In dieser Darstellung
0 = 00000000
2 = 00000010
- 2 = 11111110
- 1 = 11111111
1 = 00000001
-128 = 10000000
127 = 01111111
-127 = 10000001
Der Bereich, den wir in dieser Darstellung mit 8 Bits speichern können, sind also die ganzen Zahlen zwischen -128 und +127 oder insgesamt 256 Zahlen. Die Verwendung dieses Schemas ermöglicht es uns, alle Kombinationen effektiver zu nutzen. Dies kann sehr wichtig sein, wenn wir die Ressourcen, die grundlegende Dinge wie vorzeichenbehaftete Ganzzahlen darstellen, optimal nutzen möchten.
Es gibt andere Formen von vorzeichenbehafteten Ganzzahlige Darstellungen, die unter Signierte Zahlendarstellungen – Wikipedia zu sehen sind.
Antwort
Erstens keine Lösung mit beiden Zahl gleich Null.
Wenn beide Null sind, sind die beiden Seiten undefiniert. (Sie können das eine Lösung nennen, wenn Sie möchten – ich werde es nicht tun.)
Wenn eine Null und die andere positiv ist, ist eine Seite Null und die andere Eins.
Wenn eine Null und die andere negativ ist, ist eine Seite eine und die andere undefiniert.
Wenn man nun nur positive ganze Zahlen betrachtet, ist klar, dass a = b funktioniert.
Nehmen Sie für andere Lösungen das natürliche Protokoll beider Seiten (kein Problem, da beide Seiten positiv sind), und wir erhalten
b ln (a) == a ln (b)
Teilen Sie beide Seiten durch a und ln (a) (kein Problem, wir betrachten derzeit nur positive ganze Zahlen), wir erhalten
(b / a) == ln (b) / ln ( a) == ln (a * (b / a)) / ln (a) == [ln (a) + ln (b / a)] / ln (a) == 1 + ln (b / a) / ln (a)
Neu anordnen auf
(b / a) -1 == ln (b / a) / ln (a)
Multiplizieren Sie beide Seiten durch ln (a) und dividiere beide Seiten durch (b / a) -1, um
ln (a) == ln (b / a) [(b / a) -1]
Beachten Sie, dass dies eine Division durch Null ist, wenn a = b, aber wir haben diesen Fall bereits berücksichtigt. Dies gilt also nur für a> 0, b> 0 und a b. Geben Sie nun den Namen b / aa an und nennen Sie ihn x = b / a.
Wir haben also
ln (a) == ln (x) / (x-1)
Beachten Sie, dass die linke Seite immer positiv ist, es sei denn, a == 1, in diesem Fall benötigen wir x == 1 (die rechte Seite kann durch Kontinuität definiert werden, um x = 1 abzudecken, und ist gleich 1 an dieser Stelle). Aber wenn x == 1 ist, dann ist a = b, also war die Ableitung dieser Gleichung ungültig, und wir haben ohnehin schon a = b berücksichtigt.
Die linke Seite ist also positiv für a> 1, aber das ist in Ordnung, denn die rechte Seite ist immer positiv für positives x.Aber wir können die Fälle von ln (a) 1 getrennt betrachten. (ln (a) = 1 tritt nicht für ganzzahlige Werte von a auf.)
Für ln (a) haben wir
ln (x) / (x-1 ) .
Wenn x> 1, dann sind Zähler und Nenner positiv, so dass
ln (x) -1, was immer der Fall ist. Wenn jedoch x ist, sind Zähler und Nenner negativ, so dass
ln (x)> x-1
Dies ist für die Logarithmusfunktion niemals der Fall. Wenn also in (a) 1. (Es besteht keine Notwendigkeit, x = 1 zu berücksichtigen, da wir bereits a = b behandelt haben.)
Was ist, wenn ln (a)> 1? Dann
ln (x) / (x-1)> 1
Wenn x> 1, dann sind Zähler und Nenner positiv, so dass
ln ( x)> x-1
Dies ist niemals der Fall. Wenn x ist, sind Zähler und Nenner negativ, so dass
ln (x) -1
Dies ist immer der Fall. Wenn also in (a)> 1 ist, brauchen wir x .
Für positive ganze Zahlen mit a b müssen wir also zwei Fälle berücksichtigen. Einer ist
ln (a) 1
und der andere ist
ln (a)> 1 und x
Denken wir also darüber nach. Es gibt nur ein a> 1 (wir haben bereits a = 1 betrachtet), so dass ln (a) ist, und das ist a = 2. Dann ist das entsprechende x gegeben durch
ln (2) == ln (x) / (x-1)
Eine fundierte Vermutung (und eine der anderen Antworten hat dies bereits Lösung) ist x = 2. Aber x = b / a und a = 2, wenn also x = 2, dann ist a = 4. Beachten Sie, dass es für keinen anderen Wert von x eine Lösung geben kann, da ln (x) / (x-1) eine streng abnehmende Funktion für x> 0 ist.
Der andere Fall ist ln (a). > 1, aber in diesem Fall haben wir x . Das heißt b / a oder b
Wenn es also eine positive ganzzahlige Lösung gibt, sind entweder die beiden Werte a und b gleich oder einer von ihnen ist 2 und die andere ist 4.
Es gibt keine Lösungen mit a = 0 oder b = 0, es sei denn, Sie möchten a = b = 0 als Lösung bezeichnen, da undefined gleich undefined ist, aber Ich möchte nicht, dass meine Mathematiklizenz weggenommen wird.
Könnten wir negative Lösungen haben? Nehmen wir an, a 0 (wir wissen, dass wir nicht b = 0 haben können), dann ist a ^ b eine ganze Zahl, aber b ^ a ist nur eine ganze Zahl, wenn a = -1. Aber dann ist a ^ b -1, wenn b ungerade ist, und +1, wenn b gerade ist. b ^ a ist positiv, also können wir nicht a = -1 und ungerade b haben. Aber wenn b gerade ist, dann ist a ^ b 1 und b ^ a ist nicht gleich eins. Wir können also keine 0 haben. Aus dem gleichen Grund können wir nicht a> 0 und b haben.
Können wir a und b haben? In diesem Fall ist a ^ b positiv, wenn b gerade ist, und negativ, wenn b ungerade ist. In ähnlicher Weise ist b ^ a positiv, wenn a gerade ist, und negativ, wenn a ungerade ist. Damit die beiden gleich sind, müssen sowohl a als auch b ungerade oder a und b gerade sein.
Angenommen, sie sind ungerade. Beginnen wir dann mit
a ^ b == b ^ a
Wir multiplizieren beide Seiten mit der negativen und ordnen sie ein wenig neu an, wobei wir
(-a) erhalten. ^ b == (-b) ^ a
Wenn wir die Kehrwerte beider Seiten nehmen, haben wir
(-a) ^ (- b) == (-b) ^ (- a)
Aber wenn a und b 0 und -b> 0, und wir haben bereits festgestellt, dass die einzigen positiven Lösungen für -a und -b mit beiden ungeraden sind wenn -a = -b oder a = b. Wenn also a und b jeweils dieselbe negative ungerade ganze Zahl sind, gilt die Gleichheit. Wenn eine der beiden eine negative ungerade Ganzzahl ist, aber a b, dann ist dies keine Lösung.
Was ist, wenn a und b negative gerade Ganzzahlen sind? Dann erhalten wir
(-a) ^ b == (-b) ^ a
, ohne beide Seiten mit -1 zu multiplizieren. Wenn wir die Kehrwerte beider Seiten nehmen, haben wir
(-a) ^ (- b) == (-b) ^ (- a)
Wir kennen bereits die Lösungen, bei denen -a > 0 und -b> 0 und beide sind sogar positive ganze Zahlen; entweder -a = -b oder -a = 2 und -b = 4 oder -a = 4 und -b = 2.
Dies deckt alle Fälle ab. Die vollständige Liste der ganzzahligen Lösungen lautet also
a und b sind die gleichen positiven oder negativen Ganzzahlen (aber nicht Null)
a = 2 und b = 4
a = 4 und b = 2
a = -2 und b = -4
a = -4 und b = -2