Beste Antwort
\ frac {d} {dx} ist kein „Ding“. Sie sollten sich das so vorstellen, als wäre es der Name einer Aktion oder Operation oder einer Funktion, die eine Eingabe benötigt. [1]
Insbesondere wenn f (x) eine Funktion ist, möchten wir dies möglicherweise Führen Sie die Differenzierungsaktion für diese Funktion durch. Eine Möglichkeit, diese Aktion zu schreiben, ist \ frac {d} {dx} f (x). Dies bedeutet, dass f (x) die Eingabe für die Operation der Differenzierung in Bezug auf x ist.
Grammatisch gesehen ist \ frac {d} {dx} also kein „vollständiger Satz“. oder sogar ein autarkes Substantiv. Es ist eher wie ein Verb, das ein direktes Objekt benötigt. Dieses direkte Objekt kann eine beliebige Funktion von x sein – insbesondere wenn y eine Funktion von x ist, ist \ frac {d} {dx} y sinnvoll zu schreiben Im Englischen bedeutet dieser Ausdruck „das Ergebnis der Ableitung in Bezug auf x von y“. Der Kürze halber schreiben wir dies normalerweise als \ frac {dy} {dx}, aber bis Sie damit vertraut sind In der \ frac {d} {dx} -Notation schlage ich vor, dass Sie die Eingabe für die Differenzierungsoperation weiter nach rechts schreiben, wie ich es getan habe.
Zu Ihrer zweiten Frage: Die Kettenregel lautet die Methode zur Berechnung einer Ableitung einer Zusammensetzung von Funktionen.
[1] Ja, ich weiß, Funktionen sind auch Dinge.
Antwort
Sei f die Funktion:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) wobei x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Let „s berechnet \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Durch Differenzieren von (1) erhalten wir:
(2) df = \ frac {\ partielles f} {\ partielles x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partielles f } {\ partielle x\_ {n}} dx\_ {n}
Wenn wir beide Seiten durch dt teilen, ist das Ergebnis:
df = \ frac {\ partielle f} {\ partielle x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partielle f} {\ partielle x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Wir erhalten das Endergebnis:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partielles f} {\ partielles x\_ {1}} x „\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partielles f} {\ partielles x\_ {n}} x „\_ {n} (t) Diese Ableitung erfolgt unter Verwendung der Definition des Differentials einer multivariablen Funktion (Gleichung (2)).
Wie haben wir diese Definition erhalten? Lassen Sie uns zuerst sehen, wie wir definieren, dass f an einem Punkt A differenzierbar ist.
Wenn wir zeigen können, dass das Gesamtdifferential einer Funktion f an einem Punkt A so aussieht:
\ Dreieck f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ Dreieck x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
wobei p\_ {k} ein numerischer Koeffizient ist, \ omega ist eine Funktion mit der Eigenschaft, dass \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 und \ rho (X, A) der euklidische Abstand zwischen A und X ist, dann sagen wir das Die Funktion f kann am Punkt A unterschieden werden.
Nun benötigen wir einen weiteren Satz:
Ausdruck \ omega (X) \ rho (X, A) aus der obigen Dose geschrieben werden als:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Beweis:
\ Omega (X) \ Rho (X, A) = \ Omega (X) \ Frac {\ Rho (X, A) ^ {2}} {\ Rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
da | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), weil | x\_ {k} -a\_ {k} | die Kante an ist d \ rho (X, A) ist die Diagonale des rechtwinkligen Parallelepipeds. Wir können den Bruch als \ epsilon\_ {k} (X) annehmen.
Wir brauchen jetzt nur noch einen Satz, um zum Differential zu gelangen. Dieser Satz gibt uns die erforderlichen Bedingungen, um das Differential der Funktion zu haben.
Wenn die Funktion f sein kann an einem Punkt A differenziert, dann gibt es an diesem Punkt partielle Differenzen und es ist wahr, dass:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partiell f} {\ partiell x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Beweis:
Da wir gesagt haben, dass f am Punkt A differenziert werden kann, können wir schreiben:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Nehmen wir an, dass n-1 Variablen hier konstant sind und wir nur eine Änderung zulassen Zum Beispiel: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, wir erhalten:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} | Auf der linken Seite haben wir ein Differential in Bezug auf x\_ {1}. Wenn wir beide Seiten durch x\_ {1} -a\_ {1} = \ Dreieck teilen x\_ {1} erhalten wir:
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nun, wenn x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , das heißt \ Dreieck x\_ {1} \ mapsto 0, auf der linken Seite haben wir ein partielles Differential in Bezug auf x\_ {1}, und auf der rechten Seite haben wir p\_ {1}, weil wir das \ omega gesagt haben (X) \ mapsto 0. Es ist leicht zu erkennen, dass das gleiche Ergebnis gilt, unabhängig davon, welche Variable wir am Ende ändern. Deshalb haben wir diesen Satz bewiesen. Von hier aus haben wir das
df = \ frac {\ partielle f} {\ partielle x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partielle f} {\ partielle x\_ { n}} dx\_ {n}, mit dem wir die Lösung gefunden haben.