Beste Antwort
Ein Spinor ist nur ein Vektor, der sich bei Rotationen und bestimmten anderen Transformationen unterschiedlich verhält .
Anstatt allgemein zu sprechen, wird es meiner Meinung nach viel einfacher, über Spinoren nachzudenken, wenn Sie ein konkretes mathematisches Beispiel haben, mit dem Sie arbeiten können. Diese Antwort wird genau das tun. Es werden keine mathematischen Kenntnisse über die einführende lineare Algebra hinaus vorausgesetzt.
Eine technischere Einführung finden Sie unter Steanes ausgezeichnetes Einführungspapier zu diesem Thema, das hier ausführlicher behandelt wird: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Alle Abbildungen unten stammen von ihm. Wenn ich etwas falsch mache, können Sie dies gerne kommentieren.
Was Spinoren sind
Ich habe oben gesagt, dass Spinoren nur Vektoren. Was bedeutet das? Es bedeutet, dass sie alle Eigenschaften von Vektoren haben:
- sie können addiert werden,
- multipliziert mit eine Konstante (auch als -Skalar bezeichnet),
- es gibt so etwas wie einen „Null“ -Spinor,
- und jeder Spinor hat einen inversen Spinor.
Sie können gehen voraus und fügen Sie komplexere Anforderungen hinzu:
- Zwei Spinoren können ein genau definiertes inneres Produkt haben, genau wie Vektorräume.
- Ein Spinor kann eine sinnvolle Länge haben, genau wie andere Vektorräume.
und so weiter.
Informationen zum nur Anforderung für einen Spinor, der es schafft Der Unterschied zu einem Vektor besteht darin, dass der Versuch, ihn zu drehen, nicht das erwartete Ergebnis liefert. Wenn Sie versuchen, sich um 360 Grad zu drehen, erhalten Sie mit nicht den gleichen Spinor, sondern den gleichen um 180 Grad wird. Allgemeiner erfordert die Drehung um einen Winkel \ Theta die Verwendung der Rotationsmatrix für einen Winkel \ Theta / 2!
In diesem Sinne ist hier ein einfacher Spinor, der im gewöhnlichen dreidimensionalen euklidischen Raum vorgestellt werden kann und dies setzt alle Eigenschaften voraus, die ich oben aufgeführt habe. Dies ist der einfachste Spinor und derjenige, der den Physikern am vertrautesten ist.
Hier ist eine vollkommen gültige mathematische Beschreibung des Spinors oben:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Begrüßen Sie Ihren ersten Spinor!
Über Spinoren nachdenken: Eine Warnung
Bevor ich fortfahre, bemerkt etwas: Der euklidische Raum ist, wie ich bereits erwähnte, dreidimensional – aber ich brauche nur zwei Komponenten, die meinen Spinor darstellen! Wie kann das sein? Müssen nicht alle Vektoren die gleiche Anzahl von Komponenten haben wie die Dimension des Raums, den sie einnehmen?
Der Widerspruch kann in einem Satz gelöst werden: Spinoren leben nicht im euklidischen Raum – sie können Objekten im euklidischen Raum entsprechen, und Dinge, die ihnen angetan werden, können dazu gebracht werden, Dingen zu entsprechen, die im euklidischen Raum getan werden, aber das ist nicht ihre Heimat.
Die Wahrheit ist, dass der Spinor nicht zwei Komponenten hat, wie ich oben sagte (an diesem Punkt blinzeln Sie wahrscheinlich auf den Bildschirm und fluchen vor sich hin ). Ein Spinor hat nicht die gleiche Ausrichtung wie ein Vektor in dem Vektorraum, in den wir ihn eingefügt haben – Sie können damit Objekte in einem gewöhnlichen Vektorraum modellieren. wie ich hier habe, aber ein wahrer Spinor wird definiert durch mehr Parameter als die eines gewöhnlichen Vektors in einem solchen Raum.
Einfach ausgedrückt Wenn die Orientierung eines gewöhnlichen Vektors nur durch r, \ theta, \ phi definiert wird, wird die Orientierung eines Spinors durch r, \ theta, \ phi, \ alpha und sein Vorzeichen (im obigen Beispiel als positiv angenommen) – eigentlich kann ein dreidimensionaler Vektorraum durch ein vier- -dimensional dargestellt werden Spinor (das Vorzeichen kann, da es nur zwei Werte annehmen kann, auch als Dimension betrachtet werden, wäre aber eher unnötig).
Sie können diesen Spinor entweder als Vektor mit vier Komponenten ausschreiben , eine für jeden Parameter, multipliziert mit einem Vorzeichen – oder Sie können einen Trick verwenden, als Ich habe getan, und gibt vor , dass der Spinor komplexe Komponenten hat, was es uns ermöglicht, das gleiche
Bevor ich fortfahre, erinnere mich : Spinoren müssen nur dieselbe räumliche Dimension haben (dh die Parameter, die zur Angabe der Ausrichtung im Raum erforderlich sind), aber dies müssen nicht die einzigen Parameter sein, die sie definieren. In diesem Fall behandle ich die Komponenten meines Spinors als komplexwertig, weshalb ich sie so präzise in einen Zweikomponenten-Spaltenvektor schreiben kann – aber Spinoren können und haben mehr Parameter, weshalb sie ziemlich schwierig sind arbeiten mit.
Im wirklichen Leben würde ich nachdrücklich empfehlen, sich daran zu erinnern, dass Spinoren nicht wirklich sind leben neben uns – sie sind, wie alle anderen Dinge in der Physik, mathematische Abstraktionen , die das Leben leichter machen. Alles, was wir passiert wirklich mit dreidimensionalen Objekten – aber wir können Spinoren verwenden, um sie zu modellieren und die Mathematik zu verbessern, weshalb wir es tun.
To Fahren Sie diesen Punkt nach Hause. Beachten Sie das folgende Diagramm:
Beachten Sie, wie Das Vorhandensein des Flaggenwinkels erschwert Probleme, die so einfach wie die Drehung sind und die Orthogonalität ausmachen. Es handelt sich um einen zusätzlichen Parameter , und das macht den Unterschied.
Aufgrund der Probleme, die durch diese seltsame Dimension des Spinors entstehen, können Sie die gewöhnliche Rotationsmatrix nicht nur für zwei Dimensionen verwenden Wir kennen uns am besten mit dem allgegenwärtigen \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} für jeden aus Winkel. Dies wäre für einen zweidimensionalen Vektor korrekt, aber selbst die einfachsten Spinoren sind nicht , da ich mich bemüht habe, zweidimensional darauf hinzuweisen. Sie können auch nicht einmal die regulären dreidimensionalen Matrizen verwenden – Sie können sicherlich den Effekt der Rotation in diese Typen übersetzen , aber es ist nicht korrekt, direkt multipliziere einen Spinor mit ihnen, da sie nicht zum selben Raum gehören.
So drehen Sie Spinoren
Eine Drehung um jede Achse wird dann durch eine eigene spezielle Rotationsmatrix angegeben, die in definiert ist a völlig anderer Raum, in dem Spinoren tatsächlich leben (anstelle des euklidischen Raums). Bezeichnen wir die Rotationsmatrizen mit dem Winkel \ theta in x-, y- und z-Richtung als R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Dann ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Hier ist der lustige Teil: Merkst du? Wie alle diese Rotationsmatrizen verwenden den Halbwinkel \ frac {\ theta} {2}, um sich um den Winkel \ theta zu drehen?
Es ist wahr! Dieses Winkelverdopplungsphänomen ist das Kennzeichen von Spinoren: Sie können sogar beweisen, dass das Multiplizieren eines Spinors mit diesen halbwinkligen Matrizen dem Drehen des räumlichen Teils mit dem entspricht voller Winkel.
Und das ist buchstäblich es : alles, was Sie brauchen um über Spinoren zu wissen – dass sie Vektoren sind, die in ihrem eigenen speziellen Raum leben und ihre eigenen speziellen Rotationsmatrizen haben -, die in einer Quora-Antwort behandelt werden. Ich habe meine Aufmerksamkeit natürlich auf die einfachsten Spinoren da draußen beschränkt, aber auf das Wesentliche Funktionen werden alle vorgestellt. Wenn Sie mehr erfahren möchten, wenden Sie sich bitte an Steane (oben verlinkt).
Warum wir uns für Spinoren interessieren
Spinoren sind wichtig, weil sich herausstellt, dass sie das gesamte Spektrum von Spinoren beschreiben können Verhalten von subatomaren Partikeln erwartet. Insbesondere werden Partikel mit einem intrinsischen Drehimpuls gebündelt, eine Eigenschaft, die wir spin nennen (siehe Brian Bis Antwort auf „Ist der Spin subatomarer Partikel tatsächlich ein Drehimpuls?“ (dh dreht sich das Teilchen tatsächlich *) *? für eine vollständige Beschreibung).Durch die Modellierung von Partikeln als Spinoren anstelle gewöhnlicher Vektoren können wir die von diesem Spin erwartete Wechselwirkung erfolgreich beschreiben und das Partikelverhalten vollständig beschreiben. In der Tat bilden Spinoren die Grundlage der Dirac-Gleichung, die die Schrödinger-Gleichung ersetzt
Antwort
Spinoren sind geometrische Objekte, die eine mit der Relativitätstheorie kompatible Wellengleichung liefern und wiederum die Grundlage der Quantenfeldtheorie bilden (die Erweiterung der Quantenmechanik zur Beschreibung von Kräften) existieren im Leben in realen Vektorräumen (im Gegensatz zu komplexen oder quaternionischen Vektorräumen).
Um zurückzutreten, ist ein Vektor ein Objekt, das im Raum existiert und in eine bestimmte Richtung zeigen soll. Das bedeutet, dass sich der Komponentenvektor auf dieselbe Weise ändert, wenn Sie Ihre Achsen drehen.
Vektoren haben die Eigenschaft, dass Sie, wenn Sie sie um 360 „drehen, dasselbe Objekt zurückerhalten.
Es gibt eine Vielzahl von geometrischen Objekten, die aus Vektoren erstellt werden können Sie können zwei Vektoren nehmen und sie miteinander multiplizieren, um Tensoren zu erhalten. Insbesondere ist der Trägheitsmomenttensor einer von ihnen. Tensoren haben die Eigenschaft, dass Sie, wenn Sie sie um 360 „/ N drehen, dasselbe Objekt zurückerhalten und wenn Sie Drehen Sie sie um 360 „. Sie kehren immer zum selben Objekt zurück.
In Räumen mit einer orthogonalen Symmetriegruppe (die natürlich in realen Vektorräumen auftreten) gibt es andere Arten von geometrischen Objekten Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass Sie, wenn Sie sie um 360 ° drehen, nicht dasselbe Objekt zurückerhalten, sondern das -1-fache des ursprünglichen Objekts erhalten – es zeigt in das „entgegengesetzten Richtung.
Dies sind seltsame Objekte. Diese Objekte beschreiben jedoch auf natürliche Weise Spin-1/2-Objekte in der Physik.
Diese Objekte existieren aufgrund der seltsamen Eigenschaft, dass die orthogonale Symmetriegruppe doppelt verbunden ist. Hier gibt es eine reichhaltige mathematische Struktur, aber diese Objekte sind moralisch die Quadratwurzel eines Vektors. Wenn Sie also zwei Spinoren miteinander multiplizieren, erhalten Sie einen Vektor. Wenn Sie zwei Vektoren miteinander multiplizieren, erhalten Sie wie im Moment einen Tensor zweiten Ranges des Trägheitstensors.