Beste Antwort
Einfach ausgedrückt ist Invariante eine Eigenschaft, die sich auch nach einer Transformation oder einer mathematischen Operation nicht ändert. Ein sehr gutes Beispiel findet sich in Wikipedia-
Nehmen wir den Fall des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Die Schwerkraft zwischen zwei Körpern ist überall im Universum gleich. Die Schwerkraft zwischen diesen beiden Körpern wird heute dieselbe sein wie vor tausend Jahren. Unabhängig von der Richtung, in die Sie diese Körper bewegen, ist die Kraft dieselbe. Dies ist ein Beispiel für eine Invariante.
Spannungsinvarianten sind die Eigenschaften einer Spannungsmatrix, die von der Transformation nicht beeinflusst werden. Der Spannungszustand kann in Form einer Matrix dargestellt werden. Die hydrostatische Spannungskomponente dieser Matrix wäre gleich dem Durchschnitt der diagonalen Terme der Matrix (Hauptspannungen). Die Summe dieser diagonalen Terme wird als erste Invariante (auch als Spur der Matrix bezeichnet) bezeichnet.
Wir können also einen Matrixzustand als Summe der hydrostatischen und der deviatorischen aufteilen Spannungen-
Zur Bestimmung der Eigenwerte und der Eigenvektoren verwenden wir die Gleichung | A – Lamda I | * V = 0. In ähnlicher Weise verwenden wir für einen Spannungszustand die folgende Gleichung, die der obigen Form ähnlich ist:
nj = Eigenvektor, Sigma = Eigenwert, Delta ij = Die Identitätsmatrix wird auch als Kronecker-Delta bezeichnet. Diese Identitätsmatrix = 1 an der Position der Diagonalen, wobei i = j und an allen anderen Stellen gleich 0 ist.
Nun können wir die folgende Form
Wenn Sie sich richtig erinnern, ist dies die deviatorische Komponente der Spannungsmatrix. Aus der folgenden charakteristischen Gleichung können wir erkennen, dass die Invarianten die Koeffizienten der Spannungsterme in der charakteristischen Gleichung sind.
Wobei I1, I2 und I3 die Invarianten der Spannungsmatrix sind.
a. I1 ist die Spur der Matrix und ist die Summe der diagonalen Terme. Erste Invariante.
b. I2 ist die Summe der Minderjährigen der Matrix. Zweite Invariante.
c. I3 = Wert der Determinante der Matrix. Dritte Invariante.
T Dies sind alle Invarianten, da diese Werte trotz der in der Matrix durchgeführten Transformation gleich bleiben.
In den obigen Schritten haben wir die deviatorische Matrix erstellt und herausgefunden, dass es J1 ist und dass J1 gleich 0 ist. Wenn J1 = 0, dann ist die Summe der diagonalen Terme = 0. Also der Durchschnitt davon (auch als hydrostatische Spannung = 0 bezeichnet. Die hydrostatische Spannung der deviatorischen Komponente ist also gleich 0, was bedeutet, dass es sich um einen Zustand von PURE SHEAR handelt.
Deviatorische Spannung und Invarianten
Antwort
Spannung wird normalerweise als symmetrischer Tensor zweiter Ordnung dargestellt, der als 3 * 3-Matrix betrachtet werden kann. Jetzt hat jeder Tensor etwas, das als bezeichnet wird Die Invarianten, die sich bei einer Änderung der Basis nicht ändern. Es gibt drei Hauptinvarianten für einen Tensor zweiter oder Ordnung (Spannung, Dehnung, Trägheitsmoment fallen alle darunter). Diese bleiben auch dann gleich, wenn die b asis wird geändert. Um zu verstehen, was wir unter einem Basiswechsel verstehen, stellen Sie sich ein Elementarfestigkeit des Materialproblems vor, bei dem wir versuchen, die resultierenden Normal- und Schubspannungen auf einer Ebene zu finden, die zu einem bestimmten Satz von Koordinatenachsen (unserer Basis) geneigt ist. Wir können alle Mohr-Kreismaterialien erstellen und die Spannungskomponenten entlang der neuen Basis finden (neue Koordinatenachsen, die entlang und senkrecht zur Steigung liegen). Wenn Sie also den Spannungstensor früher und jetzt betrachten, hat er sich Element für Element geändert (beide sind zwar symmetrisch), aber die folgenden Größen bleiben gleich.
- Spur von Matrizen
- Spur des Cofaktors der Matrizen
- Determinante der Matrizen.
Dies sind drei Hauptinvarianten.