Beste Antwort
Es wird angegeben, dass
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Nun der Wert von x ^ 2 ist – \ omega und – \ omega ^ 2
Wobei
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
und
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Nehmen wir x ^ 2 ist – \ omega
Nun lautet der angegebene Ausdruck \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ Omega) ^ {9} + (- \ Omega) ^ {6} + (- \ Omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ Omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Erinnern Sie sich nun an diesen \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Also
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Die Antwort lautet also 0
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Antwort
Dieses Problem ist viel einfacher als es zunächst aussieht, und es ist eine Lektion, wie nützlich es ist Es kann sein, Symmetrie zu suchen und dann auszunutzen. Für die Lösung des Problems ist kein Kalkül erforderlich. Wenn Sie jedoch einen Kalkül kennen, funktioniert dieser Ansatz sehr gut. Der Schlüssel zu einer Nicht-Kalkül-Lösung besteht darin, zu beobachten, dass, wenn der gleiche Wert g (x) und h (x) minimiert, auch g (x) + h (x) minimiert wird. Sehen Sie, warum dies wahr ist?
Wie können wir diese Idee auf dieses Problem anwenden?
Betrachten Sie g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4) ) ^ 4. Diese Funktion ist symmetrisch um x = 3,5 – den halben Punkt zwischen den +3 und den +4 Werten, die zu x addiert werden – da wir sie als g (x) = ((x + 3,5) -0,5) ^ 4 + schreiben können ((x + 3,5) + 0,5) ^ 4. Wenn y = x + 3,5 ist, impliziert diese Symmetrie, dass g (y) ein gerades Polynom sein muss, daher enthält es Terme mit nur geraden Potenzen von y. Da es sich um ein gerades Polynom handelt, sagt uns der Binomialsatz, dass alle seine Koeffizienten positiv sein müssen. (Tatsächlich ist es g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, aber wir müssen diese drei Begriffe nicht einmal explizit finden, um das Argument zu beenden.) Da y = 0 ist, wird jeder klar minimiert von den Summanden von g (y) einzeln, da jede eine gerade Potenz von y mit positivem Koeffizienten ist, impliziert unsere anfängliche Beobachtung, dass y = 0 auch g minimieren muss. Wir haben also festgestellt, dass x = -3,5 der eindeutige Minimierer von g (x) ist.
Betrachten Sie als nächstes h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Diese Funktion ist etwas einfacher als g, da sie quadratisch ist, und ein nahezu identisches Argument impliziert, dass x = 3,5 auch der eindeutige Minimierer von h (x) ist. Nutzen Sie die Symmetrie, um sie als h (x) = ((x + 3,5) -3,5) ^ 2 + ((x + 3,5) +3,5) ^ 2 zu schreiben. Beachten Sie dann, dass h (y) ein gerades Polynom ist (daher nur gerade Potenzen von y hat), und verwenden Sie den Binomialsatz, um zu schließen, dass es nur positive Koeffizienten hat. Tatsächlich ist h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, aber wir müssen es nicht explizit finden. Da y = 0 alle Terme minimiert, die hinzugefügt werden, um h (y) zu erzeugen, wissen wir, dass y = 0 h (y) minimiert, und wir schließen daraus, dass x = -3,5 der eindeutige Minimierer von h (x) ist.
Schließlich ist x = -3,5 der eindeutige Minimierer von g (x) und h (x), der eindeutige Minimierer ihrer Summe, und das Problem ist gelöst.