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Wie finde ich den Schwerpunkt eines geneigten Halbkreises?
Der Schwerpunkt eines Körpers ändert sich nicht, wenn wir seine Position ändern.
Um den Schwerpunkt des geneigten Halbkreises mit dem Radius r zu ermitteln, drehen wir ihn der Einfachheit halber in die unten gezeigte Position.
Aus Symmetriegründen ist klar, dass der Schwerpunkt auf dem Radius senkrecht zur Basis des Halbkreises liegt.
Betrachten Sie einen infinitesimalen Wert kleiner horizontaler Streifen mit der Dicke dy in einem Abstand y von der Basis, wie in der Abbildung gezeigt.
Die Länge des Streifens beträgt 2x.
Das Moment aller dieser Streifen von Den Halbkreis um die Basis geteilt durch die Fläche des Halbkreises würden wir den Abstand des Schwerpunkts von der Basis angeben.
\ Rightarrow \ qquad \ bar y = \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ int \ limit\_0 ^ r 2xy \, dy.
Nach dem Satz von Pythagoras erhalten wir x = \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}.
\ Rightarrow \ qquad \ bar y = \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ int \ limit\_0 ^ r 2y \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2} \, dy = – \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ left [\ frac {2} {3} \ left (r ^ 2-y ^ 2 \ right) ^ {3/2} \ right] \_0 ^ r
\ qquad \ qquad = – \ frac {2} {\ pi r ^ 2} \ left [- \ frac {2r ^ 3} {3} \ right] = \ frac {4r} {3 \ pi}.
Wenn wir also berücksichtigen, dass die Basis des Halbkreises mit dem Radius r auf der X-Achse liegt Mit der Mitte der Basis am Ursprung sind die Koordinaten des Schwerpunkts \ left (0, \ frac {4r} {3 \ pi} \ right).
Unabhängig von der Ausrichtung des Halbkreises bleibt die relative Position des Schwerpunkts gleich.
Antwort
Um den Schwerpunkt einer halbkreisförmigen Form zu finden müssen Sie den Radius (r) kennen, und dann können die x- und y-Koordinaten des Schwerpunkts wie folgt angezeigt werden: Haben Sie das bemerkt? Die x-Koordinate des Schwerpunkts ist Null? Dies liegt daran, dass das Koordinatensystem in der Mitte des Halbkreises platziert ist.
Ashutosh