Beste Antwort
Die Ableitung dieser Summe ähnelt der für
\ Anzeigestil \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Sei
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
Da die Addition kommutativ ist, können wir S wie folgt in umgekehrter Reihenfolge schreiben:
S = (2n-1) + (2 (n-1) – 1) + (2 (n-2) – 1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
Hinzufügen dieser beiden Darstellungen Term für Term ergeben uns
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ Punkte (1 + () 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
Daraus folgt offensichtlich, dass
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
Dies ist ein bekanntes Ergebnis, das durch Induktion nachgewiesen werden kann, was ich jetzt tun werde. Dazu müssen wir zeigen, dass
H\_ {0}: \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(Hinweis: Ich verwende H\_ {0} als Kurzreferenz für die Hypothesenaussage)
Um zu zeigen, dass H\_ { 0} gilt über Induktion, wir müssen zeigen, dass die Gleichheit für den Basisfall n = 1 und den Induktionsfall n = k + 1, k \ in \ mathbb {N} gilt. Der Basisfall ist offensichtlich, da 1 = 1 ^ {2} = 1, was uns mit dem Induktionsfall belässt.
k ^ {2} + 2 (k + 1) – 1 = (k + 1) ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
Wir sehen, dass die Gleichheit für k + 1 gilt beweisen, dass H\_ {0} tatsächlich wahr ist. Somit können wir definitiv behaupten, dass unsere Herleitung von (6) tatsächlich korrekt ist.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
Antwort
Schauen wir mal. Jeder kann zumindest die ersten Instanzen beobachten, oder?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Erkennen Sie nun die Zahlen auf der rechten Seite?
1,4,9,16,25, \ ldots
Ja! sind die perfekten Quadrate. 1 \ mal 1, 2 \ mal 2, 3 \ mal 3, 4 \ mal 4 und so weiter.
Wir haben jetzt eine Vermutung. Lassen Sie es uns auf die Probe stellen:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Ja! Die sechs kleinsten ungeraden Zahlen addieren sich zu 6 ^ 2, genau wie wir es vorhergesagt hatten. Sie können noch ein paar ausprobieren: Es funktioniert.
Wenn wir Physiker sind, hören wir hier auf. Wir haben eine Beobachtung gemacht, wir haben eine Hypothese aufgestellt, wir haben unsere Hypothese ein- und zweimal und hundertmal experimentell getestet, es funktioniert immer, getan. Unsere Theorie ist korrekt, bis ein Experiment sie widerlegt.
Aber wir sind Mathematiker, nicht wahr? Wir benötigen Beweise. Und es gibt viele strenge Beweise für diese nette kleine Tatsache.
Aber es gibt auch einen kristallklaren visuellen Beweis. Hier ist es:
BEARBEITEN: Viele Leute haben um einen strengen Beweis gebeten. Hier ist ein relativ einfacher Beweis, der aus diesem visuellen Beweis abgeleitet werden kann.
Wir stellen fest, dass die ungeraden Zahlen sind nur die Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Quadraten, wie folgt:
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
und so weiter. Wenn wir sie addieren, wird daher alles außer dem letzten Quadrat abgebrochen:
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
Schreiben wir dies nun formal für eine beliebige Anzahl von ungeraden Zahlen, die addiert werden k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
und daher die Summe der ersten n ungeraden Zahlen, die
ist > \ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
ist gleich
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED