Wie lautet die Formel oder Abkürzung, um die Summe der Fakultäten zu ermitteln?

Beste Antwort

Leider gibt es keine einfache Methode. Es gibt jedoch Muster für die Endziffern, obwohl dies ein anderes Thema ist.

Hier ist trotzdem die Formel: Faktorsummen – von Wolfram MathWorld

=

wobei

das Exponentialintegral ist,

ist das E n -Funktion ,

ist der Realteil von z,

ist die Gammafunktion und i ist die imaginäre Zahl .

Antwort

Der Trick bei solchen Problemen mit beängstigenden Zahlen ist t Um Muster zu finden.

Zuerst müssen wir all die hässlichen Zahlen loswerden, die an riesigen Fakultäten und Exponenten beteiligt sind. Da wir nur die letzte Ziffer betrachten, hat jede darüber liegende Ziffer (Zehnerstelle, Hunderterstelle usw.) keinen Einfluss darauf. (Dies liegt daran, dass alle Werte dieser anderen Ziffern ein Vielfaches von 10 sind. Da jedoch 10> 1 und jedes Vielfache von 10 mit 0 endet, wirkt sich dies nicht auf die Einheitenziffer aus.)

Unsere beste Wahl ist Zunächst wird die Einheitenziffer dieser Zahl ohne Exponent (nur die Basis) gefunden. Da die ersten Fakultäten leicht zu berechnen sind, tun wir dies. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 40320 … Warum enden sie immer wieder bei Null?

Dies liegt an der Primfaktorisierung . Wie Sie wissen, ist 10 = 5 \ cdot 2. Wenn die Primfaktorisierung von irgendetwas eine 5 und eine 2 hat, ist es ein Vielfaches von zehn (durch die Verteilungseigenschaft). Da die letzte Ziffer einer Zahl in der Basis zehn (was wir verwenden) im Grunde der Teil ist, der nicht durch 10 teilbar ist, ist sie in Vielfachen von 10 0.

Nun betrachten wir noch einmal die Fakultäten

1 = 1

2 = 1 * 2

3 = 1 * 2 * 3

4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 1 * 2 ^ 3 * 3

5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1 * 2 ^ 3 * 3 * 5

Da die Fakultät von Alles, was höher als 5 ist, ist ein Vielfaches von 5! Sie wissen, dass es eine 2 und eine 5 in seiner Primfaktorisierung hat, also enden alle mit 0. Hurra! Jetzt müssen wir nur noch 1!, 2!, 3!, Und 4! Betrachten. Wie wir bereits berechnet haben, ist ihre Summe 1 + 2 + 6 + 24 = 9 + 24 = 33, deren letzte Ziffer mit 3 endet.

Nun ist unser Problem 3 ^ 33. Wir versuchen erneut nach Mustern zu suchen. Schauen wir uns einige Potenzen von 3 an!

3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 24 3 , 72 9 , 218 7 , 656 1 ….

Hmmmm. Es läuft: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… .. (Hinweis: Ich weiß nicht, warum dies passiert. Jemand sagt es mir bitte!) Und jeder Exponent, der ein Vielfaches von 4 ist, führt zu einem endet mit 1, wie Sie sehen können. 32 ist ein Vielfaches von 4, also endet 3 ^ 32 mit 1. Nun schauen wir einfach zur nächsten Zahl im Zyklus: 3! Daher endet es mit 3.