Beste Antwort
Wie löse ich tan theta = -2?
Nun, dazu verwenden wir zunächst die Funktion arctan , die die Umkehrung der Funktion tangentiale Funktion und findet einen Wert \ theta, so dass \ tan (\ theta) = -2.
Wir können den Wert berechnen, aber dies ist ein Komplex Verfahren mit imaginären Zahlen. Dies scheint eine Menge Ärger zu sein, daher wäre die Verwendung einer Reihe von Tabellen einfacher, auch wenn sie möglicherweise etwas weniger genau sind. Ich bin zwar ein altes Set auf dem Dachboden meiner Eltern, aber das nützt mir derzeit nichts. Lassen Sie uns also im Internet nach einigen Tischen suchen. Warten Sie, wenn ich Zugang zum Internet habe, warum nicht sehen, ob das Internet die Berechnung für mich durchführen kann?
Nun, diese Annäherungen sind wahrscheinlich genauer als wir brauchen, aber wir bleiben vorerst bei ihnen.
Vielleicht gefällt Ihnen die Idee negativer Winkel nicht? Keine Sorge, es ist einfach, diese durch Hinzufügen von 2π Radian / 360 ° in positive Winkel umzuwandeln.
Wir haben also 5,17603659 Radian / 296,5650512 °
Aber wir sind noch nicht fertig !
Die Funktion arctan gibt nur Winkel im exklusiven Bereich (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi) zurück, dh (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Gibt es also andere Winkel, deren Tangentenwert -2 ist?
Zuerst die tangential gibt einen negativen Wert an, wenn der Winkel im zweiten und vierten Quadranten liegt, nämlich wenn die Winkel in den exklusiven Bereichen (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) und (270 ^) liegen {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Wir haben die Lösung bereits im vierten Quadranten. Was ist also die Lösung im zweiten Quadranten? Das ist Osten, nehmen Sie einfach π Radiant / 180 ° von der Lösung im vierten Quadranten.
Warum? Nun, aus der zusammengesetzten Winkelformel für die Tangentenfunktion haben wir:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – als \ tan (\ pi) = 0
Dies gibt uns unsere zweite Lösung, 2.03444393 Bogenmaß / 116.5650512 °
Zweitens ist die Tangentenfunktion periodisch mit eine Periode von 2π Radiant / 360 °; Dies bedeutet, dass das Hinzufügen eines Vielfachen von 2π Radiant / 360 ° zu unserem Winkel den gleichen Tangentenwert ergibt.
\ tan (\ theta) + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – as \ tan (2 \ pi) = 0
Wenn wir also k verwenden, um eine beliebige Ganzzahl darzustellen, lautet unser vollständiger Lösungssatz:
(2.03444393 + k \ pi) \ radians oder (116.5650512) + 360k) ^ {\ circ}
Antwort
Erinnern Sie sich daran, dass sec (Theta) = 1 / (cos (Theta). Dann haben Sie
Cos ( Theta) + 1 / (cos (Theta) = 3, was eine quadratische Gleichung in cos (Theta) ist. Die beiden Wurzeln dieser Gleichung sind (3 + – sqrt (5)) / 2, die tatsächlich 1 + – phi sind, wobei phi der berühmte „Goldene Schnitt“ ist und die Wurzeln des quadratischen x ^ 2 – x – 1 sind.
Da phi eine Wurzel ist, zeigt die Division dieser Gleichung durch phi ^ 2, dass die andere Wurzel ist -1 / phi. Und da phi + 1 = phi ^ 2, haben wir, dass die Wurzeln Ihrer ursprünglichen Gleichung phi ^ 2 und 1 / phi ^ 2 sind. Da der Kosinus 1 sein muss, müssen wir die kleinere Wurzel verwenden
Betrachten Sie nun die alten Fibonacci-Reihen 0, 1,1, 2, 3, 5, 8, in denen der (n + 1) -te Term die Summe des n-ten und des (n-1) -ten Terms ist. Es stellt sich heraus, dass Phi und seine konjugierte Wurzel eng mit dieser Reihe verwandt sind. Dies gilt hier wie folgt:
Wenn der n-te Fibonacci-Term F (n) ist, dann ist phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Der Beweis ist eine Induktion auf n unter Verwendung der Fibonacci-Definition F (n + 1) = F (n) + F (n-1) im letzten Schritt.) Sie möchten dann zeigen, dass phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. Die 6. und 7. F sind 5 und 8. Sie haben also
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 ausgewertet / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Wenn Sie dies multiplizieren und den zweiten Term rationalisieren, erhalten Sie 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED