Beste Antwort
Wie Sie beweisen, dass Identität stark von Ihnen abhängt Denken Sie an Sinus und Cosinus.
Wenn Sie an Sinus und Cosinus als Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks denken (wie in der High School, wo sie Sinus als Gegenteil gegenüber Hypotenuse lehren), erhalten Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (letzteres durch das pythagoreische Dreieck) und \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Wenn Sie sich Sinus und Cosinus als Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis vorstellen (parametrisiert durch die Bogenlänge des Kreises), dann erfüllt jeder Punkt nach der Definition des Einheitskreises x ^ 2 + y ^ 2 = 1, also auch der Punkt (\ sin \ theta, \ cos \ theta), also \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus und Cosinus können auch definiert werden als unabhängige Lösungen für die Differentialgleichung f = -f mit \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Da es nur zwei unabhängige Lösungen für die Gleichung gibt und es ist leicht zu erkennen, dass f ^ {(n)} eine Lösung ist. Es muss der Fall sein, dass \ sin x, \ sin x, \ sin x keine unabhängigen Lösungen sein können. Tatsächlich ist \ sin x = – \ sin x, also \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, also \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Daraus können wir implizit \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x unterscheiden, um 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Der Wert von \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x ist also eine Konstante, und bei 0 ergibt sich \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, also \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus und Cosinus können auch durch die Potenzreihe \ sin x = x – \ frac {x definiert werden ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Eine sorgfältige Erweiterung dieser Potenzreihen im Ausdruck \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x zeigt alle Terme, die x ^ n aufheben, wobei nur der konstante Term 1 als Wert übrig bleibt.
Antwort
Um darüber nachzudenken, müssen wir die trigonometrischen Verhältnisse berücksichtigen. Wir wissen, dass das Sinusverhältnis gleich dem Winkel ist, der einer Seite über der Hypotenuse aus einem Winkel entgegengesetzt ist, oder o / h. Wir wissen auch, dass das Kosinusverhältnis gleich der benachbarten Seite zu einem Winkel über der Hypotenuse oder a / h ist. Als nächstes sehen wir, dass diese beiden Verhältnisse quadratisch sind, was bedeutet, dass die trigonometrische Identität sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1 äquivalent zu (o / h) ^ 2 + (a / h) ist. ^ 2 = 1, was gleich o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2 ist. Da wir einen gemeinsamen Nenner haben, können wir diese beiden Gleichungen kombinieren, um (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2 zu erhalten. Wir können uns das dann ansehen und erkennen, dass wir alle Seiten eines Dreiecks definieren. Wir wissen durch den Satz von Pythagoras, dass a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ist. Wir können sehen, dass, da jeder dieser Werte von o, a und h alle verschiedenen Seiten eines Dreiecks sind, sie gleich a, b und c sind. Der Wert von c im Satz von Pythagoras ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, daher wissen wir, dass h = c ist. Dies bedeutet, dass a und b gleich o und a sind. Es spielt keine Rolle, welcher Buchstabe zugewiesen ist, da sich die Ergebnisse nicht ändern. Wir können dann durch den Satz von Pythagoras sehen, dass a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ist, was zu o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2 führt. Dies bedeutet, dass wir den Zähler unserer vorherigen Gleichung ersetzen können, wodurch er (h ^ 2) / (h ^ 2) entspricht. Schließlich wissen wir, dass jede durch sich selbst geteilte Variable gleich 1 ist, daher ist diese Gleichung gleich 1. Wenn wir zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren, haben wir bewiesen, dass sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.