Beste Antwort
Um dies zu beweisen, verwenden Sie die Sinus-Subtraktionsformel.
dh sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Hier ist a = π und b = x sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Daher bewiesen
Antwort
Beweis 1:
Der einfachste Weg,
cos (π / 2 – x) = sin x
soll A = π / 2, B = x in die trigonometrische Formel
cos (AB) = cos A setzen. cos B + sin A. sin B ……………………………. (1)
und erhalte
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ……………………. (2)
Ersetzen von cos π / 2 = 0 und sin π / 2 = 1 in (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (bewiesen)
Beweis 2:
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck bei B. Sei AB die Basis und AC die Hypotenuse. Wenn wir den Winkel C mit x bezeichnen, ist der Basiswinkel A = (π / 2 – x), so dass A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π oder 180 °.
Nun ist BC für den Basiswinkel A die Senkrechte.
A cos A = cos (π / 2 – x) = Basis / Hypotenuse = AB / AC ………… .. (3 )
Für den Winkel C ist AB die Senkrechte und daher
sin C = sin x = senkrecht / Hypotenuse = AB / AC ……………. (4)
Gleich (3) und (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (bewiesen)
Beweis 3:
Verwenden Sie die Euler-Formel
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
, das das Symbol eⁱᶿ für jeden reellen Wert von θ definiert. Hier ist i = √-1.
∴ Wir können θ = (π / 2 – x) in die Formel einfügen und
e ^ i (π / 2 – x) = schreiben cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Oder e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nun ist e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i und e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Oder i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Da i² = -1]
Gleichsetzen des Real- und Imaginärteils,
cos (π / 2 – x) = sin x (bewiesen)
und cos x = sin (π / 2 – x)
Abschließende Bemerkungen:
Von den drei hier vorgestellten Methoden zum Nachweis der gegebenen Behauptung sollte die bevorzugte Methode der Beweis 1 sein. Dies liegt daran, dass sie einfach, unkompliziert und schnell ist. Kann von einem durchschnittlichen Schüler in etwa 30 Sekunden mental erledigt werden. In Beweis 2 gibt es Raum für Verwirrung darüber, welche Basis die richtige Senkrechte ist. Außerdem muss man zusätzliche Zeit aufwenden, um ein Dreieck zu zeichnen, die Seiten, die Winkel usw. zu markieren. Beweis 3 ist in Ordnung; aber nicht viele sind bequem oder gut darin, mit komplexen Funktionen zu arbeiten. Die Methode beinhaltet mehr Algebra als die anderen Methoden; aber es gibt einen Bonus, nämlich: es beweist die Formel cos x = sin (π / 2 – x).