Beste Antwort
Ich würde die Identität verwenden \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x oder
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Also \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Verwenden Sie nun die Identität \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1 oder
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Wir erhalten also
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x) )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Antwort
In dieser Übung wird empfohlen, Halbwinkelformeln zu verwenden, um neue Ausdrücke niedrigeren Grades zu erzeugen. Ohne Kontext ist dies schwer zu erkennen. Beachten Sie daher, dass diese Probleme immer mit Halbwinkelformeln gelöst werden können.
Auf diese Weise können wir den ursprünglichen Ausdruck in das Produkt zweier (sin x) ^ 2-Terme aufteilen und die zweite Formel in dem von mir angepassten Bild verwenden.
Multiplizieren und erweitern, um
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Oh nein! Es sieht so aus, als wären wir noch nicht fertig! Nun, keine Sorge, schauen Sie sich die erste Formel auf meinem Bild an und ersetzen Sie den quadratischen Begriff durch den Ausdruck. Beachten Sie, dass wir mit einem 2x beginnen und es auf 4x verdoppeln müssen, anstatt genau das, was in der Formel geschrieben steht. Ersetzen und ergeben Sie also:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Dann erhalten Sie einen gemeinsamen Nenner und verschieben diesen mit dem 1 / 4, was außen ein 1/8 ergibt.
1/8 (2- 4cos2x + 1 + cos4x)
Kombinieren Sie gleiche Begriffe für unsere endgültige Antwort
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Ausgezeichnete Frage!