Beste Antwort
Beginnen wir mit der Produktregel.
Beispiel: f (x) = sin (x) cos (x) dy / dx = (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Wie bin ich dorthin gekommen? Die Produktregel lautet: Wenn y = uv, wobei uv zwei verschiedene Funktionen sind, die miteinander multipliziert werden – in diesem Fall Sinus und Cosinus dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx)
Also im obigen Beispiel dy / dx = sin (x) * (d cos (x) / dx) + cos (x) * (d sin (x) / dx) = sinx * -sin (x) + cos (x) * cos (x) = – (sin (x)) ^ 2 + (cos (x)) ^ 2 oder (cos (x)) ^ 2 – (sin (x)) ^ 2
Die umgekehrte Produktregel ist gerecht das Gegenteil, wie Integration ist das Gegenteil der Differenzierung.
Also von dy / dx = u * (dv / dx) + v * (du / dx) Lassen Sie uns alles integrieren! ∫ (dy / dx) dx = ∫u * (dv / dx) dx + ∫v * (du / dx) dx
Die Differenzierung von y wird zu dy / dx, sodass die Integration auf y zurückgeht. Daher ist y = ∫u dv + ∫v du
Da wir wissen, dass y = uv (siehe oben) uv = ∫u dv + ∫v du
Dann ordnen wir einfach das neu an Gleichung als solche:
du dv = uv – ∫v du Done.
Ich verstehe es auch nicht vollständig, aber dies ist so gut ich kann, um zu erklären, wie es geht leiten Sie es ab.
Antwort
Hier ist eine Möglichkeit, darüber nachzudenken: ∫udv integriert sich entlang der v-Achse. Es berechnet die Fläche unter der u-Kurve in Richtung v.
duvdu integriert sich entlang der u-Achse. Es berechnet die Fläche links von der v-Kurve in Richtung u.
Wenn Sie die beiden zusammenfügen, erhalten Sie ein Quadrat: die gesamte Fläche zwischen der u- und der v-Achse. Die Gesamtfläche ist das Produkt der beiden: UV. Zusammenfassend erhalten Sie:
∫v du + ∫u dv = uv
Von dort können Sie die Formel leicht ableiten. Es ist auch einfach zu visualisieren.
Quelle: Sigma MathNet
Dies ist eine übermäßige Vereinfachung der Idee, die allgemeiner ist, aber dies ist eine häufige Erklärung (und wird manchmal als informeller Beweis behandelt). Weitere Informationen finden Sie unter Erklären Sie mir diesen Beweis ohne Worte der Integration durch Teile .