Beste Antwort
Wenn ich versuche, dies in meinen Taschenrechner einzustecken, erhalte ich etwas in wissenschaftlicher Notation. weil die Antwort zu groß ist, als dass der Taschenrechner sie anzeigen könnte. In der Praxis zeigt mir der Taschenrechner den Anfang der Zahl, und ich kümmere mich nur um das Ende der Zahl.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Ich weiß, dass eine Zahl am Ende eine Null erhält, wenn die Zahl 10 als Faktor hat. Zum Beispiel ist 10 ein Faktor von 50, 120 und 1234567890. Ich muss also herausfinden, wie oft 10 ein Faktor für die Erweiterung von 200 ist!
Aber seit 5 × 2 = 10, ich muss alle Produkte von 5 und 2 berücksichtigen. Wenn man die Faktoren in der obigen Erweiterung betrachtet, gibt es viel mehr Zahlen, die Vielfache von
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
als Vielfache von
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Das heißt, wenn ich nehme Bei allen Zahlen mit 5 als Faktor habe ich weit mehr als genug gerade Zahlen, um sie mit ihnen zu koppeln, um Faktoren von 10 zu erhalten (und eine weitere nachfolgende Null auf meiner Fakultät). Um herauszufinden, wie oft 10 ein Faktor ist, Alles, worüber ich mir wirklich Sorgen machen muss, ist, wie oft 5 ein Faktor in allen Zahlen zwischen 1 und 200 ist.
Okay, wie viele Vielfache von 5 gibt es in den Zahlen von 1 bis 200? Es gibt 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, zum Teufel, machen wir das auf kurze Weise: 200 ÷ 5 = 40 , also gibt es vierzig Vielfache von 5 zwischen 1 und 200.
Also wird seine Antwort 40 sein
Aber warten Sie: 25 ist 5 × 5, also hat jedes Vielfache von 25 einen zusätzlichen Faktor von 5 , die ich berücksichtigen muss. Wie viele Vielfache von 25 liegen zwischen 1 und 200?
Seit 200 ÷ 25 = 8 , es gibt acht Vielfache von 25 zwischen 1 und 200.
Und warte eine Minute, es gibt auch 125, was 5x5x5 ist. Wir müssen also 1 zur Anzahl der Nullen addieren.
Jetzt ist also die Gesamtzahl der Nullen = 40 + 8 + 1, was 49 bedeutet.
Also in 200! Es gibt 49 nachgestellte Nullen. Und überprüfen Sie es nicht mit dem Taschenrechner, da der Taschenrechner dies nicht kann.
Antwort
Nachgestellte Nullen sind eine Folge von 0 „s in der Dezimaldarstellung einer Zahl nach Dies kann auf zwei Arten gelöst werden:
- Schauen wir uns an, wie nachfolgende Nullen überhaupt gebildet werden. Eine nachfolgende Null wird gebildet, wenn ein Vielfaches von 5 mit multipliziert wird ein Vielfaches von 2. Jetzt müssen wir nur noch die Anzahl der 5er und 2er in der Multiplikation zählen.
Jedes Paar von 2 und 5 verursacht eine nachfolgende Null. Da wir nur 24 5 haben, können wir nur 24 Paare von 2 und 5 bilden, daher ist die Anzahl der nachgestellten Nullen in 100 Fakultäten 24 .
2. Die Frage kann auch mit der folgenden einfachen Formel beantwortet werden:
Die obige Formel gibt uns die genaue Anzahl von 5s in n! an, da sie sich um alle Vielfachen von 5 w kümmert welche sind kleiner als n. Nicht nur, dass es sich um alle Vielfachen von 25, 125 usw. kümmert (höhere Potenzen von 5).
Tipp: Anstatt durch 25, 125 usw. zu teilen (höhere Potenzen von 5); Es wäre viel schneller, wenn Sie rekursiv durch 5 teilen würden.
Verwenden wir dies, um einige Beispiele zu lösen:
Q) Wie viele nachgestellte Nullen gibt es in 100! ?
[100/5] = 20
Jetzt können wir entweder 100 durch 25 teilen oder das Ergebnis im obigen Schritt, dh 20 durch 5.
[ 20/5] = 4. Es ist weniger als 5, also hören wir hier auf.
Die Antwort lautet – 20+ 4 = 24 (direkte Antwort in nur wenigen Sekunden)
Q) Wie viele nachgestellte Nullen gibt es in 200! ?
[200/5] = 40
Jetzt können wir entweder 200 durch 25 oder das Ergebnis im obigen Schritt teilen, dh 40 durch 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. Es ist weniger als 5, also hören wir hier auf.
Die Antwort lautet – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Wie viele nachgestellte Nullen hat 1123?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. Es ist weniger als 5, also hören wir hier auf.
Die Antwort lautet – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
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