Beste Antwort
Ich kann verstehen, dass Sie hier eine Antwort wünschen. Traditionell ist eine Falte der Wert einer Sache; Ergo beträgt eine einmalige Steigerung 100\%. Dies führt jedoch zu Verwirrung, da die meisten Menschen ein zweifaches Interesse als den doppelten Wert (200\%) einer Sache betrachten – die populäre Definition. Sogar Collins Dictionary of Mathematics definiert „-fold“ als „times“, da „two-fold“ gleich „two times“ ist, was doppelt ist. Einige Wissenschaftler verwenden „fold“ als Synonym für den mathematischen Begriff „times“. mal „wie in“ dreifach größer „bedeutet“ dreimal größer „. Andere bestehen jedoch darauf, traditionell „Falte“ zu verwenden, um den Gesamtwert einer Sache zu beschreiben. „60 ist also um ein Vielfaches größer als 30.“
Ich bin sicher, dies erleichtert Ihnen nicht die Entscheidung – die beliebte Version gegenüber der traditionelleren Verwendung -, aber um Fehlinterpretationen zu vermeiden. Im alltäglichen Gebrauch möchten Sie vielleicht bei der gängigen Definition bleiben.
Antwort
Interessante Frage. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln.
- Warum werden Determinanten berechnet? ?
Ehrlich gesagt gibt es keinen einzigen Grund auf der Welt, warum Sie eine Determinante berechnen sollten, außer wenn sie in einem linearen Algebra-Test abgefragt wird. Determinanten werden für den Existenznachweis einer Lösung verwendet zu einem Satz linearer Gleichungen der Form Ax = b, in denen Determinanten eine wichtige Rolle spielen. Cramers Regel – Wikipedia
Dies hat so manche fehlgeleitete Seele zu dem Schluss geführt, dass diese Regel ein guter Weg ist, um diese Lösung zu berechnen . Es ist nicht so. Lassen Sie mich erklären, warum.
2. Warum werden Determinanten so berechnet, wie sie berechnet werden?
Das erste, was Sie in der linearen Algebra 101 lernen, ist, eine Determinante entlang einer Zeile oder Spalte zu erweitern, die rekursiv als
\ formuliert werden kann. Anzeigestil \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
in dem A\_ {kj } ist die Submatrix, die Sie erhalten, wenn Sie die k-te Zeile und die j-te Spalte von A verwerfen. Dies ist in Ordnung, wenn Ihre Matrix 3 \ times3 oder 4 \ times 4 ist, wird langweilig, wenn n = 5 und für jedes größere n rückgängig gemacht werden kann . Aber wir haben Computer, oder? Gut. Lassen Sie uns dies wissenschaftlich tun und eine Operation durchführen. Sei T\_n die Anzahl der Operationen, um auf diese Weise eine n \ mal n-Determinante zu berechnen. In einem linearen Algebra-Kontext ist „Operation“ eine Multiplikation, gefolgt von einer Addition. Dann klar
T\_n = nT\_ {n-1}
Hey! Läutet das nicht eine Glocke? Ja, dies ist die Fakultätsfunktion und T\_n = n!. Wenn wir nun einen Computer hätten, der 10 ^ {20} Operationen pro Sekunde ausführen kann, was nur passieren könnte, wenn die Quantencomputer betriebsbereit werden und wir eine 100×100-Determinante durch Zeilen- oder Spaltenerweiterung berechnen müssten, würden wir
100! = 9.3326E157
Operationen. Und 100 \ times100 ist nicht übertrieben, industrielle Anwendungen gehen oft in die Millionen. Jetzt hat ein Jahr 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 Sekunden, sodass wir nicht mehr als 3,2E27-Operationen pro Jahr ausführen können, was nur ein Tropfen in den Ozean von 9,3E157 ist. Insbesondere würden wir etwa 3E130 Jahre benötigen, und angesichts der Tatsache, dass das geschätzte Alter des Universums 13,8E9 (6E3, wenn Sie ein Kreationist sind) Jahre beträgt, sind wir ein paar Jahre zu kurz.
Schlussfolgerung: Dies ist kein guter Weg, um eine Determinante zu berechnen.
Und um eine Lösung nach der Cramer-Regel zu berechnen, müssten Sie 101 Determinanten berechnen. Die Cramer-Regel gilt überhaupt nicht! Es ist von theoretischem und nicht von praktischem Wert.
Deshalb sollten Sie zur Berechnung eine LU-Zerlegung ( LU-Zerlegung – Wikipedia ) verwenden eine Determinante und als zusätzlichen Vorteil gibt es Ihnen auch die Lösung für Ihr System Ax = b. Die Operationsanzahl für LU ist \ frac13n ^ 3. Um eine Determinante daraus zu erhalten, multiplizieren Sie alle diagonalen Elemente von U. (\ cal O (n)). Um die Lösung Ihres Systems zu erhalten, benötigt Ax = b weitere n ^ 2 Operationen. Alles in allem würde dies 3.34E5-Operationen erfordern und wir wären in 10 ^ {- 14} Sekunden fertig.
Sheldon Axler hat einen linearen Algebra-Text geschrieben, der keine Determinanten verwendet https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
und ich bin sicher, dass Alon Amit („Matrizen saugen, Operatorenregel“) zustimmen würde.