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Sinus ist Die trigonometrische Funktion, die dem Verhältnis der Seite gegenüber einem bestimmten Winkel (in einem rechtwinkligen Dreieck) zur Hypotenuse entspricht.
Hinweis: Alle trigonometrischen Funktionen gelten nur für rechtwinklige Dreiecke ..
Aber der Wert des Sinus hängt vom Winkel ab. Für einen Winkel a ist der Wert des Sinus immer der gleiche. Egal, wie groß das Gegenteil ist
Der Bereich der Sinuswerte ist [-1,1]…
Egal was der Winkel könnte sein .. Wenn wir einen Sinuswert für Winkel erhalten, die einen beliebigen Wert haben … können wir jetzt sagen:
f (x) = sinx .. Hier kann x ein beliebiger Winkel von minus unendlich bis sein plus unendlich. Aber der Wert des Vorzeichens liegt immer im Bereich [-1,1].
Diese Funktion unterscheidet sich jedoch nicht von der normalen Funktion Wir wissen: f (x) = x ^ 2–3x + 6
Hier sind einige Artikel als Referenz. Eine bessere und beschriebene Definition von Sinus und anderen trigonometrischen Funktionen finden Sie hier.
https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
Antwort
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Sinus als Funktion zu definieren, je nachdem, welche Regeln Sie für die Definition zulassen.
Eine Möglichkeit besteht darin, zu sagen, dass \ sin x = -i \ Im e ^ {ix}. Einige würden argumentieren, dass dies das Problem von „Wie definieren Sie Sinus?“ Zu „Wie definieren Sie komplexe Integration?“ Verschiebt, aber das ist eine Kleinigkeit.
Ebenso könnte man sagen, dass der Sinus das einzigartige Reale ist Funktion f (x), die die Differentialgleichung f „“ = -f mit den Anfangsbedingungen erfüllt, dass f (0) = 1, f „(0) = 0. Dies ist eine implizite Definition, keine explizite. Aber es ist eine gültige Definition.
Diese Definition kann jedoch verwendet werden, um eine Taylor-Erweiterung zu generieren, um
\ begin {align} \ sin x & = f (0) + xf zu erhalten „(0) + \ frac {x ^ 2} {2} f“ „(0) + \ cdots \\ & = \ sum\_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ i} {i!} \ frac {d ^ if} {dx ^ i} \\ & \ approx x – \ frac {x ^ 3} {6} + \ frac {x ^ 5} {120} – \ frac {x ^ 7} {5040} \ end {align}
Der letzte Ausdruck dort ist eine Polynomnäherung 7. Ordnung für die Sinusfunktion, die für 0 \ leq x \ leq \ pi / 4 auf ungefähr 7 Dezimalstellen genau ist.
Es gibt einige Feinheiten, zum Beispiel den Beweis, dass die Taylor-Reihe für alle x konvergiert, aber im Grunde ist das so Um dies zu tun.
Möglicherweise können Sie sich etwas einfallen lassen, das auf der Bogenlänge eines Kreises basiert: \ theta = \ int\_0 ^ {\ sin \ theta} \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2}, x ^ 2 + y ^ 2 = 1, xdx = -ydy, aber ich bin momentan nicht geneigt, zu versuchen, das für \ sin \ theta zu lösen.