Beste Antwort
Ja, es ist das verkleidete Monty-Hall-Problem. Das „Umschalten“ dieses Problems ist nur ein Weg, um zu betonen, dass eine Wahrscheinlichkeit anders ist als die andere. In diesem Problem hätten Sie lieber die Tür, die der Gastgeber hätte öffnen können, aber nicht. Hier wären Sie lieber der Gefangene, den der Aufseher hätte nennen können, aber nicht. Gleiches.
A ist falsch. Er glaubt, nur Informationen über B und nichts über A oder C gelernt zu haben. Aber er hat etwas über C gelernt: Der Aufseher hätte ihn benennen können, aber nicht t. Aufgrund des Münzwurfs hätte der Aufseher in 50\% der Fälle, in denen A begnadigt worden wäre, C genannt. In 100\% der Fälle, in denen C begnadigt worden wäre, hätte er B genannt. Dieses Verhältnis – 50\% zu 100\% – macht es jetzt doppelt so wahrscheinlich, dass C begnadigt wird.
Historisch beiseite: Das von Ihnen genannte Problem war ursprünglich veröffentlicht in der Oktober (glaube ich) 1959 Ausgabe von Scientific American von Martin Gardner. In derselben Ausgabe entschuldigte er sich für die falsche Antwort auf diese Frage:
- Mr. Smith hat zwei Kinder. Mindestens einer von ihnen ist ein Junge. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?
Er hatte ursprünglich gesagt, die Antwort sei 1/3. Die gestellte Frage ist jedoch nicht eindeutig. Es hängt davon ab, wie Sie erfahren haben, dass mindestens ein Kind ein Junge war.
Wenn Sie gefragt haben: „Ist mindestens eines a Junge? “, dann ist 1/3 richtig. Aber wenn es nur eine zufällige Tatsache war, die Sie gelernt haben, was bedeutet, dass Sie auch gelernt haben könnten, dass „mindestens einer ein Mädchen ist“, lautet die Antwort 1/2.
Tatsächlich ist das Zwei-Kinder-Problem nur eine Variation des Drei-Gefangenen-Problems mit vier statt drei Gefangenen oder des Monty-Hall-Problems mit vier Türen. Gardner stellte die drei Gefangenen vor, um zu klären, wie diese Probleme funktionieren, und fügte den Teil über den Münzwurf hinzu Insbesondere , um zu zeigen, wie der Prozess, durch den Sie die Informationen erhalten haben, nicht die Informationen allein, die Antwort bestimmt.
Antwort
Das Problem der drei Gefangenen kann leichter verstanden werden, wenn wir uns eher an bedingte Wahrscheinlichkeiten als an hintere Wahrscheinlichkeiten halten.
Das sind also drei Gefangene A, B, C. in der Todeszelle und einer von ihnen wurde aufgrund eines Zufallsspiels begnadigt. Gefangener A bittet den Aufseher, mindestens den Namen eines der anderen Gefangenen zu offenbaren, der nicht begnadigt wurde.
Mit dieser Frage hat A zwei Gruppen gebildet.
- Gruppe I – A allein einbeziehen.
- Gruppe II – B und C einbeziehen.
Diesen beiden Gruppen entsprechen zwei Ereignisse:
- Jemand aus Gruppe I wird begnadigt (A allein).
- Jemand aus Gruppe II wird begnadigt (B oder C).
Da beide Diese Ereignisse sind gleich wahrscheinlich, die Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse sind \ frac {1} {2}. Innerhalb der zweiten Gruppe sind die Wahrscheinlichkeiten für die Wahl von B oder C erneut \ frac {1} {2}.
Der Aufseher nennt B jetzt den Gefangenen, der nicht begnadigt wurde.
Da der Aufseher nichts über den Gefangenen C gesagt hat, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses (jemand, der aus der Gruppe mit B und C begnadigt wird) immer noch dieselbe ist – \ frac {1} {2}.
Aber da B eliminiert wurde, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, dass C aus Gruppe II begnadigt wird, jetzt von \ frac {1} {2} auf 1 gestiegen ist !!! Das ist seine Chance, Verzeihung zu erhalten, hat sich verdoppelt !!!
Andererseits hat der Aufseher aus den gleichen Gründen nichts über Gefangener A gesagt, die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses (jemand, von dem begnadigt wird) Die erste Gruppe ist immer noch dieselbe – \ frac {1} {2}.
Die Frage von Gefangener A gibt A also keine neuen Informationen über sein Schicksal. Andererseits weiß der Gefangene C (dem A diese Informationen gegeben hat) jetzt, dass sich seine Chancen auf Begnadigung verdoppelt haben.
Dies ist alles, was Sie wissen müssen, um das Wesen der drei Gefangenen zu verstehen Problem. Wenn Sie jedoch Ihre Intuition anhand der Bayes-Formel überprüfen möchten. Sie können dies wie folgt tun:
Bayes-Formulierung des Drei-Gefangenen-Problems
A, B und C seien die Ereignisse, die der Freilassung der Gefangenen A, B und C entsprechen.Und sei b der Fall, dass der Aufseher A sagt, dass der Gefangene B hingerichtet werden soll, dann ist nach dem Bayes-Theorem die hintere Wahrscheinlichkeit, dass A begnadigt wird ,:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Die Wahrscheinlichkeit von C. Begnadigt wird andererseits:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Somit bleibt die hintere Wahrscheinlichkeit, dass A begnadigt wird, dieselbe wie die Apriori-Wahrscheinlichkeit (\ frac {1} {3}), während die Wahrscheinlichkeit, dass C begnadigt wird, verdoppelt wird.
Sie können die Auswirkung der bedingten Wahrscheinlichkeiten auf die hinteren Wahrscheinlichkeiten in den Begriffen P (b | A) (\ frac {1} {2}) und P (C | b) (1) sehen.