Beste Antwort
So würde ich eine ungefähre Lösung finden:
Der Wert von x muss im Intervall [-1,1] außerhalb des Intervalls x ^ 2> 1 liegen, das außerhalb des Bereichs von \ sin {x} liegt. Es kann weiter auf das Intervall [0,1] beschränkt werden, wenn -1 \ le x , \ sin {x} 0. Innerhalb des Intervalls [0,1] existiert eine triviale Lösung für x = 0.
Für x = \ frac {\ pi} {6} gilt \ sin {x} = \ frac {1} {2 } während x ^ 2 \ sin {x} haben, muss im Intervall (0,1] mindestens eine Lösung existieren. Außerdem hat \ sin {x} in diesem Intervall eine negative zweite Ableitung, Während x ^ 2 eine positive zweite Ableitung hat, gibt es höchstens eine Lösung im Intervall (0,1]. Sobald die Kurve von x ^ 2 die von \ sin {x} überholt, kann sie nicht mehr zurückkreuzen.
Es gibt also genau eine Lösung in (0,1]. Um diese Lösung abzuschätzen, verwenden Sie die ersten beiden Terme der Taylor-Reihe für die Sinusfunktion, um x- \ frac {x ^ 3} {6} = zu erhalten x ^ 2. Dies reduziert sich auf x ^ 2 + 6x-6 = 0 oder x = \ sqrt {15} -3 als ungefähre Lösung. Auf sechs Dezimalstellen \ sqrt {15} -3 \ ca. 0,872983.
Zum Vergleich: Eine numerische Näherung ergibt die Lösung für sechs Dezimalstellen als x = 0,876726. Unsere Näherung mit nur zwei Termen der Taylor-Reihe war also ziemlich nah, aber nicht perfekt.
Antwort
Für eine Frage wie diese ist es normalerweise eine gute Idee, die Funktionen grafisch darzustellen, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie sie sich verhalten ähm, Sie möchten Antworten mit reellen Zahlen.
Wir können 2x zu beiden Seiten addieren und dann durch 2 dividieren, um x = 1,3 \ sin (x) zu erhalten. Die Sinusfunktion ist zwischen -1 und 1 begrenzt, daher müssen wir uns nur mit Werten von x zwischen -1,3 und 1,3 befassen. Der Graph y = x ist nur eine gerade Linie. Der Graph y = 1,3 \ sin (x) ist zwischen -1,3 und 1,3 nach oben geneigt, da 1,3 kleiner als ein rechter Winkel ist und der Sinus von – \ pi / 2 auf \ pi / 2 ansteigt.
Wenn Sie einen Kalkül kennen, wissen Sie, dass die Rate, mit der 1,3 \ sin (x) zunimmt, durch 1,3 \ cos (x) gegeben ist. Diese Änderungsrate nimmt zu und dann wieder ab (was als Wendepunkt bezeichnet wird). Der Graph von y = 1,3 \ sin (x) ist von -1,3 bis 0 konkav und dann von 0 bis 1,3 konkav. Es ist relativ leicht zu erkennen, dass x = 0 eine Lösung ist. Da die Steigung von y = 1,3 \ sin (x) an diesem Punkt größer ist als die Steigung von y = x, kreuzt sie sich dort von unten nach oben. An diesem Punkt entschied ich mich, den Wert von 1.3 \ sin (1.3) herauszufinden. Denken Sie natürlich daran, dass die Sinusfunktion für Winkel im Bogenmaß gilt. Es ist weniger als 1,3.
An diesem Punkt können Sie auf die Art der Situation schließen. Die beiden Funktionen kreuzen sich dreimal von -1,3 bis 1,3. Nennen Sie die positive Lösung c. Aufgrund der Symmatrie (1,3 \ sin (-c) = – 1,3 \ sin (c) = 2 (-c)) ist die negative Lösung -c. Die Konkavität von 1.3 \ sin (x) verhindert, dass es andere Lösungen gibt. Alles, was übrig bleibt, ist herauszufinden, was c ist.
Einige Schüler finden es seltsam, dass es oft keine „geschlossene Form“ für die Lösung einer solchen Gleichung gibt. Wir können sagen, dass es eine Lösung zwischen 0 und 1,3 gibt, aber ich glaube, in diesem Fall haben wir keine Formel dafür in Bezug auf vertraute Funktionen. Wenn Sie sich also damit befassen möchten, müssen Sie entscheiden, was Sie darüber wissen müssen.
Wenn Sie es mit einer gewissen Genauigkeit berechnen möchten, gibt es einige Methoden. In diesem Fall funktioniert ein naiver Ansatz. Wenn Sie einen Wert von x zwischen 0 und 1,3 annehmen, wenn er kleiner als die Lösung ist, ist 1,3 \ sin (x) größer, und wenn er größer als die Lösung ist, ist 1,3 \ sin (x) kleiner. Wenn Sie also Ihren Wert von x weiterhin durch 1.3 \ sin (x) ersetzen, nähert er sich der Wurzel. Angenommen, ich beginne mit x = 1.0. Dann ist 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … also benutze das als den Wert von x next. Dieser Prozess konvergiert auf der Lösung, wenn auch nicht sehr schnell, da jeder Schritt den Wert nur etwas näher an die Lösung bringt.
Eine zweite Methode besteht darin, das Intervall zu unterteilen. Wir könnten also versuchen, 1.3 \ sin (1.1) und 1.3 \ sin (1.2) zu bewerten, um die erste Dezimalstelle der Lösung zu erhalten. Da 1.3 \ sin (1.1) 1.2 ist, scheint die Wurzel zwischen 1.1 und 1.2 zu liegen. Dann können wir 1.3 \ sin (1.15) versuchen, um festzustellen, ob die Lösung kleiner oder größer als 1.15 ist. Diese Methode konvergiert auch nicht so schnell, obwohl sie in einigen Situationen gut funktioniert, in denen die erste Methode nicht funktioniert.
Es gibt einige andere Methoden ( Root- Suchalgorithmus – Wikipedia ), insbesondere die Sekantenmethode und die Newtonsche Methode. Sie konvergieren schneller.
Die Sekantenmethode behält zwei Näherungen auf beiden Seiten bei, z. B. 1.1 und 1.2. Dann geben wir vor, dass die Graphen beide gerade Linien sind, um eine ungefähre Lösung zu erhalten. Die Berechnung ist nicht ganz so einfach, obwohl sie nicht wirklich kompliziert ist.
Bei Newtons Iteration ziehen Sie eine Tangentenlinie zur Kurve, um zu approximieren, wo sich die beiden Kurven kreuzen, und wiederholen Sie diese. Wenn Sie mit einem Wert beginnen, der nahe genug an der Wurzel liegt, konvergiert dieser im Allgemeinen relativ schnell.Die Anzahl der Genauigkeitsziffern verdoppelt sich im Allgemeinen mit jedem Schritt (obwohl es unwahrscheinlich ist, dass jemand viele Präzisionsziffern für die Wurzel wünscht).