Beste Antwort
Der Ausdruck im Beitrag Frage ist nicht ganz richtig.
Der Binomialsatz
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
gilt für alle komplexen Zahlen x und y und nichtnegative ganze Zahlen n .
Sei x = 1 und y = -1. Dann haben Sie auf der rechten Seite Ihre gewünschten abwechselnden Unterschiede und Kombinationssummen (was Sie als select s bezeichnet haben). Auf der linken Seite haben Sie 0 ^ n, von dem Sie anscheinend annehmen, dass es 0 ist. Der Binomialsatz gilt jedoch, wie oben angegeben, für alle nichtnegativen ganzen Zahlen n , einschließlich 0, in diesem Fall ist die linke Seite 0 ^ 0 = 1 – ein Fall, den Sie nicht berücksichtigt haben.
Wenn Sie mir nicht glauben, versuchen Sie diese triviale Übung: Schreiben Sie die ersten Zeilen von Pascals Dreieck auf. Die Formel „Auswählen“ in der gestellten Frage entspricht dem Auswählen einer beliebigen Zeile. Ab dem Element ganz links (das immer 1 ist, unabhängig davon, welche Zeile Sie auswählen) wird das nächste Element rechts subtrahiert und abwechselnd addiert und subtrahiert alle Elemente dieser Zeile. Beachten Sie, dass bei diesem Vorgang die Zeile mit 1 1 und die Zeile mit 1 2 1 und die Zeile mit 1 3 3 1 alle 0 ergeben. Was passiert jedoch in der obersten Zeile, die nur 1 enthält? Wir beginnen mit dieser 1 und bereiten uns darauf vor, das nächste Element zu subtrahieren, aber es gibt kein nächstes Element, so dass wir bereits mit einem Ergebnis von 1 und nicht 0 fertig sind. Es besteht keinerlei Notwendigkeit, die oberste Zeile von dem Konzept auszuschließen, dass sich die Wechsel unterscheiden und Summen ergeben 0 ^ n für alle Zeilen.
Wenn Sie einer von denen sind, die ein Problem mit 0 ^ 0 = 1 haben, müssen Sie dieses Problem zumindest im Kontext wirklich überwinden von ganzzahligen Exponenten. Wenn Sie 0 ^ 0 als undefiniert betrachten, werfen Sie den Binomialsatz und den obigen Beweis genauso gut weg, da Sie den Binomialsatz nicht zur Bewertung von (0 + y) ^ {n} und (x + 0) ^ {verwenden könnten n}, unabhängig vom Wert von n , da der letzte Term in der Binomialerweiterung für die erstere Potenz und der erste Term in der Binomialerweiterung für die letztere Potenz beide beinhalten 0 ^ 0, also müssten Sie diese Summe undefiniert nennen und den ansonsten völlig unnötigen und dummen Ausschluss hinzufügen, dass der Binomialsatz nicht für x = gilt 0 und für y = 0. Sie würden auch gegen die Leerproduktregel verstoßen, die angibt, dass das Produkt ohne Faktoren das multiplikative Identitätselement sein muss , 1. Die Beziehung 0! = 1 ist auch wichtig für den Binomialsatz sowie für viele andere Stellen – aber mit 0! man multipliziert keine Faktoren, die bei 1 beginnen, also ist es ein leeres Produkt, und es ist letztendlich die Regel des leeren Produkts, die uns sagt, dass 0! = 1 ist. Dieselbe Regel für leere Produkte besagt, dass x ^ 0 = 1 für alle komplexen Zahlen x , und der Wert von x spielt für die Regel für leere Produkte keine Rolle, also ja, x = 0 gilt genauso wie jeder andere Wert von x – keine Ausnahmefälle, die in irgendeiner Weise gerechtfertigt sind.
Es gibt zahlreiche andere Gründe für die Betrachtung von 0 ^ 0 = 1 zumindest im Zusammenhang mit ganzzahligen Exponenten: die formelhafte Definition von Polynomen und Potenzreihen unter Verwendung der ∑-Notation und die Manipulation solcher Polynome und Potenzreihen, verschiedene kombinatorische Probleme und andere. Es gibt keine stichhaltigen Gründe dafür, dass 0 ^ 0 einen anderen Wert als 1 hat oder als undefiniert angesehen wird, zumindest im Zusammenhang mit ganzzahligen Exponenten.
Einige von Ihnen sind möglicherweise etwas besorgt Ich schreibe so, weil es gegen alles verstößt, was Ihnen beigebracht wurde – vielleicht so viel Bedrängnis, dass es Ihnen schwer fällt, über die mögliche Gültigkeit dessen nachzudenken, was ich geschrieben habe, und Sie sind dabei, einen Antwortkommentar zu schreiben, um mir zu sagen, wo ich falsch liege. Um Sie davon abzuhalten, mit fehlerhaften Kommentaren albern auszusehen, werde ich darauf eingehen, was ich erwarten würde:
- „Mein Lehrbuch und mein Lehrer sagten, dass 0 ^ 0 undefiniert ist und sie könnten sei nicht falsch. “ Ich hasse es, es Ihnen sagen zu müssen und Ihre Blase in Bezug auf Ihre Lehrer und Lehrbücher zum Platzen zu bringen, aber es gibt viele Themen in Mathematiklehrbüchern der Sekundarstufe (und anderen Fächern), die so stark vereinfacht sind, dass sie falsch sind. Meine Kommentare hier sind nicht als Niederlage der Mathematiklehrer der Sekundarstufe gedacht – sie haben eine herausfordernde Aufgabe und die meisten wollen wirklich einen tollen Job machen und den Schülern helfen, Fortschritte zu machen.Die meisten Mathematiklehrer der Sekundarstufe haben während ihres Studiums kein Hauptfach Mathematik studiert – die meisten haben einen Schwerpunkt in Pädagogik mit Spezialisierung auf Mathematik. Sie lernen, wie verschiedene Schüler denken, wie sie verschiedene Punkte auf unterschiedliche Weise erklären, wie sie Probleme finden und diagnostizieren, die Schüler mit Material haben, und andere sehr wertvolle Dinge, die nicht direkt mit Mathematik zusammenhängen. Sie verbringen Zeit in Scheinklassenzimmern sowie in echten Klassenzimmern unter der Leitung des eigentlichen Lehrers, um sich zu üben. Sie erhalten eine eingehende Prüfung der Mathematik, die sie voraussichtlich unterrichten werden, dh auf der Sekundarstufe. Sie werden ein paar Mathematikkurse auf Universitätsniveau in ihrem Programm belegen, aber bei weitem nicht so viele oder so fortgeschritten wie ein Mathematik-Hauptfach. Die Hauptfächer der Mathematik tun nichts davon, aber in ihren fortgeschritteneren Kursen erfahren sie mehr darüber, was echte, lebende, professionelle Mathematiker tun, und die meisten Mathematiklehrer erhalten diese Erfahrung nicht – sie erkennen nicht, wie Mathematiker tatsächlich Dinge wie natürliche Zahlen und Zahlen definieren ganze Zahlen, begrenzte Exposition gegenüber Mathematikern, die Bogenmaß anstelle von Grad für Winkelmaße verwenden (und das Fehlen eines Einheitensymbols für Winkel impliziert Bogenmaß, nicht Grad), ohne dass es in die professionelle Reihenfolge der professionellen Mathematiker eintaucht (und nein , es ist nicht PEMDAS, BODMAS,…) usw. Ihre Mathematiklehrer unterrichten, was das Buch zu lehren sagt, und sie sind sich nicht bewusst, dass sie Ihnen Dinge beibringen, die im Widerspruch zu dem stehen, was professionelle Mathematiker tun.
- Teilungsgesetze von Exponenten: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, was undefiniert ist, daher muss 0 ^ 0 undefiniert sein, da sie gleich sind. Beim zweiten = wurde ein ungültiger Schritt ausgeführt. Eines der Teilungsgesetze von Exponenten ist b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, aber es gibt einige Einschränkungen, um verwendet zu werden. Eine davon ist, dass die Anwendung des Gesetzes zu keinem Zeitpunkt einen Ausdruck erzeugen darf, der einen Kehrwert von 0 oder eine Division durch 0 beinhaltet. Daher ist die Verwendung dieses Gesetzes verboten, wenn b = 0, weil es Unsinn erzeugt – und das ist der Unsinn, den Sie verwenden möchten, um Ihren Standpunkt zu „beweisen“. Entschuldigung, aber um einen Punkt zu beweisen, können Sie nicht etwas verwenden, das so viel Unsinn ist, dass es ungültig ist. Ungültige Schritte stellen einen fehlgeschlagenen Beweis dar. Schreiben Sie auch Dinge wie a = b = c wobei c undefiniert ist, ist ungültig – a und b ist möglicherweise gültig oder nicht gültig. Gleichungen dürfen nicht verwendet werden, wenn mindestens eine der Seiten undefiniert oder anderweitig ungültig ist. Es ist Ihnen verboten, auch nur 1/0 = 1/0 zu schließen, da beide Seiten undefiniert sind und Sie nicht sagen können, dass sie gleich sind. Wie können Sie wissen, dass zwei Dinge gleich sind, wenn Sie nicht einmal eine Ahnung haben, was diese beiden Dinge sind? meine (und Sie können keine Ahnung haben, weil sie keine Definition haben).
- „0 ^ 0 ist eine unbestimmte Form, kann also keinen Wert haben – mein Kalküllehrbuch sagt es.“ Das Konzept unbestimmter Formen ist sehr real und nützlich, solange Sie es im beabsichtigten Kontext halten. Unbestimmte Formulare gelten nur im Zusammenhang mit Grenzwerten – Sie können dieses Formular nicht betrachten und feststellen, ob ein Grenzwert vorhanden ist und wenn ja, wie hoch dieser Grenzwert ist. Das Schreiben von 0 ^ 0 bezieht sich auf den Wert von f (x, y) = x ^ y bei (x, y) = (0, 0) – nicht, was ist die Grenze, wenn x und y sich unabhängig voneinander 0 nähern. Möglicherweise ist eine Grenze vorhanden, aber die Funktion ist dort nicht definiert. Dort kann eine Funktion definiert werden, aber das Limit existiert nicht. Die beiden Konzepte haben nichts miteinander zu tun, außer wenn eines oder beide (Definitionswert und Grenzwert) fehlschlagen, ist die Funktion zu diesem Zeitpunkt nicht kontinuierlich. Zu sagen, dass ein Limit die Form 0 ^ 0 hat, bedeutet, dass Sie anhand dieser Informationen nicht allein erkennen können, ob das Limit existiert und welchen Wert es hat. Diese Tatsache hat nichts damit zu tun, ob 0 ^ 0 = 1 oder undefiniert ist. Wenn Sie 0 ^ 0 = 1 sagen, bedeutet dies nicht, dass ein Grenzwert in der Form 0 ^ 0 den Wert 1 haben muss.
- 0 ^ y = 0 für alle positiven y und x ^ 0 = 1 für alle x ungleich Null. (Viele Leute, die dieses Argument verwenden, vergessen, dass y nicht negativ sein darf und behandeln die beiden Fälle als symmetrisch.) Wenn Sie beide durch x und y , in einem Fall 0 ^ 0 = 0 und im anderen Fall 0 ^ 0 = 1 – ein Widerspruch kann also nicht definiert werden. Okay, lass uns nachsehen. Es gibt zwei Zahlen, deren Quadrat 9 ist: +3 und -3; Somit ist die Quadratwurzel von 9 +3, aber die Quadratwurzel von 9 ist –3. Oh, wir haben einen Widerspruch, also darf es keine Quadratwurzel von 9 geben – sie muss undefiniert sein.Nein, +3 ist eine nützlichere Antwort als −3, daher definieren wir √9 = 3. Die Tatsache, dass x ^ 0 = 1 nicht nur für alle reellen x aber auch für alle Nicht-Null-Komplexe x und sogar alle Nicht-Null-Quaternionen x ; Auf der anderen Seite funktioniert 0 ^ y auf einfache Weise nur für positive reelle x – keine negativen reellen, nicht imaginären, daher ist es nicht sinnvoller Gehen Sie mit der Definition, die nur ein Loch hat, anstatt ernsthaft über eine Option nachzudenken, die eine unzählige Anzahl von Löchern hat. ? Das Ergebnis von 1 ist weitaus nützlicher als 0 für 0 ^ 0. Wenn wir bereit sind, die Quadratwurzel von 9 als +3 zu bezeichnen, wenn es weit weniger Grund für eine Präferenz gibt, wie viel mehr, um 0 ^ 0 = 1 zu nennen, wenn es einen sehr starken Grund für eine Präferenz gibt. Die Leerproduktregel schreibt die Wahl von 1 und nicht 0 vor. In vielen praktischen Anwendungen ist 1 ein äußerst nützliches Ergebnis, während 0 oder undefiniert problematische Ergebnisse wären. Keine sinnvolle Anwendung hat 0 als nützliches Ergebnis, daher wählen wir 1.
Antwort
\ text {Gemäß dem Binomialsatz}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Ersetzen von a = 1 und x durch – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ impliziert 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ Anzeigestil \ binom {n} {3} + \ cdots + \ Anzeigestil \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}