Nejlepší odpověď
Můžeme představovat jakékoli kladné celé číslo n v základní desítkové notaci jako n = a\_k10 ^ k + a\_ {k-1} 10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_0, kde a\_i \ in \ {0, 1, 2, \ ldots, 9 \} a a\_k \ neq 0. Pak n \ geq 10 ^ k. Součet číslic je a\_k + a\_ {k-1} + \ ldots + a\_0 \ leq 9 (k + 1). Tato nerovnost vyplývá z a\_i \ leq 9. Nyní je dobře vidět, že pokud k \ geq 2, pak 18 (k + 1) 0 ^ k. Nyní nám zůstávají prvky n = 10a\_1 + a\_0. Ty lze snadno zkontrolovat pomocí počítače. Takto jsem to udělal s Pythonem
[n for n in range(1, 100) if n == 2*sum(map(int, str(n)))]
>>> [18]
Jediné kladné celé číslo, které je dvojnásobkem součtu jeho číslic, je tedy 18. Pokud povolíme nezáporná celá čísla, máme také 0. Nejsem si úplně jistý, jak by měla být tato otázka interpretována pro záporná celá čísla.
Odpověď
Číslo N je součinem prvních 100 kladných celých čísel. Pokud by byly vypsány všechny číslice N, jaká číslice by byla vedle všech nul na konci?
V podstatě hledáme 100! a pak chceme na konci zahodit všechny nuly, pak chceme vědět, co je první nenulová číslice na pravé straně.
Jedním ze způsobů je ve skutečnosti vypočítat 100! pomocí programu jako bc (bench kalkulátor na Linuxu nebo Unixu) a poté zahodit všechny nuly, abychom dospěli k požadované číslici.
Podívejme se na jiný způsob řešení problému pomocí principu rozděl a panuj.
Zahodíme všechna čísla končící 1 i. E. 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, protože při násobení se poslední číslice předchozího násobku (produkt dorazil do tohoto bodu) nezmění a nás nezajímá výpočet 100! sans zeroes.
Podívejme se na 1. 9 čísel začínajících 2 a jsou:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Zleva doprava, 2 * 3 vám dává 6, 6 * 4 vám 24, stačí si ponechat 4 a vynásobit 5, abyste získali 20 (protože chceme zahodit nulu), nyní si ponechte 2 a vynásobte to o 6, abyste dostali 12, opět si ponechte pouze 2 a vynásobte je 7, abyste získali 4 (ze 14) a vynásobte je 8, abyste získali 2 (vyřazení 3 z 32) a vynásobte 9, abyste dostali 8 ( vyřazení 1 z 18) a vynásobení 10 vám dává 8 (vyřazení 0 nebo 80). Získáte tedy jednu číslici, což je 8 .
Podobně funguje i na 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 vám dává 8 znovu.
Další série 22, 23 …, 28, 29, 30 vám dává 2.
Další série vám poskytne 4
Podobným pokračováním u zbývajících sérií získáte 4 , 6 , 8 , 8 , 6 , 4 a 2 v uvedeném pořadí.
Nyní poslední Úkolem je znásobit číslice, jak jsme výše přišli pro každou ze sérií.
8, 8, 2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2 a jak je vynásobíte číslice a zahodit desátou číslici, dorazíme na 4 jako poslední číslice.
Toto je ta Konečná odpověď na otázku, 4 je požadovaná číslice.