Nejlepší odpověď
K tomu můžeme přistupovat geometricky. Existují tři řešení: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° a 1 / \_240 ° v polárním tvaru. Musíme vzít v úvahu doménu komplexních čísel. (v tuto chvíli nejsem schopen poskytnout diagramy, tak se omlouvám). Použití pera a papíru při čtení této odpovědi by bylo velmi užitečné.
Poznámka: „/ \_“ představuje „úhel“. Úhel se měří proti směru hodinových ručiček vzhledem ke kladné reálné ose (kladná osa x). Také 0 ° je stejný jako 360 °, 720 ° atd. Libovolný úhel θ je stejný jako θ + 360 °.
Geometricky, pokud reprezentujeme 1 v komplexní rovině jako 1 + 0i (1,0); to se rovná 1 / \_ 0 ° nebo 1 / \_360 ° v polárním tvaru. Mohli bychom nakreslit jednotkovou kružnici se středem v počátku 0,0. Rozdělením jednotkové kružnice 360 ° (neboli 2π radiánů) na 3 stejné části získáme tři požadované kořeny.
První kořen na 1 / \_0 ° nebo / \_360 °. [Pokud udělám 3 úplné otáčky (360 °) z (1,0) proti směru hodinových ručiček (vynásobím třikrát nebo krychlově), dorazím na stejné místo: 1 / \_0 °. Pamatujte také: Pokud udělám 3 „žádné otáčky“ (0 °). Rovněž dorazím do stejného bodu!]
Pro další dva kořeny:
- Počínaje od 1 / \_0 °, pokud udělám 1/3 (jednu třetinu nebo 120 °) otáčení proti směru hodinových ručiček (jeden vynásobený 1 / \_120 °), dojdu na 1 / \_120 °, což je druhý kořen. Pokud odtamtud udělám další dvě 1/3 otáček, dorazím znovu na 1 / \_360 °, tj. 1 / \_ 0 °. (tak jsem udělal tři 1/3 nebo 120 ° otáčky, nebo jsem provedl kubování). Krychle 1 / \_120 ° je tedy také 1.
- Počínaje 1 / \_0 °, pokud udělám 2/3 (240 °) otáčky, přijdu na 1 / \_240 °, což je třetí kořen, pokud udělám ještě jednu 2/3 otáčky, přijdu na 1 / \_480 °, tj. na 1 / \_120 °, a ještě jednu 2/3 otáčky, přijdu na 1 / \_720 °, tj. zpět na 1 / \_0 °. udělal jsem tedy tři 2/3 nebo 240 ° otáčky, nebo jsem provedl kubování). Proto je krychle 1 / \_240 ° také 1.
Kořeny jsou 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120 ) °. odděleny 120 ° rovnoměrně na jednotkovém kruhu.
Hodnoty můžete převést do obdélníkového tvaru a uvidíte, že odpovědi jsou stejné jako odpovědi ostatních.
Obecně lze získat n-tý kořen, rozdělíme jednotkovou kružnici na n stejných částí nebo rovnoměrně rozmístěných úhlů 360 / n ° a kořeny leží na vnější hranici kružnice. Od 360/5 = 72 ° jsou tedy páté kořeny jednoty: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Odpověď
Nechte z takový z ^ 3 = 1
klíčový krok, neberte kořen krychle na obou stranách, jinak vám budou chybět 2 kořeny. Místo toho přepište rovnici jako:
z ^ 3–1 = 0
faktor levá strana
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 má 2 komplexní kořeny:
z = -0,5 + i * 0,5sqrt (3), z = -0,5-i * 0,5sqrt (3)