Nejlepší odpověď
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Pro x + 2 = 0 máme x = -2
Pro x ^ 2-2x + 4 = 0, musíme to vyřešit kvadratickým vzorcem:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Dostaneme řešení x = 1 + i \ sqrt {3} a x = 1 – i \ sqrt {3}
Pokud mluvíme o reálných číslech, -8 má jeden kořen krychle: -2
Pokud mluvíme o komplexních číslech, -8 má tři kořeny krychle: -2, 1 + i \ sqrt {3} a 1 – i \ sqrt { 3}
Odpověď
Neuvádíte, zda chcete odpověď ve skutečném nebo složitém kontextu. Existuje jeden skutečný kořen a pár komplexních konjugovaných kořenů. Uvádíte „kořen krychle“ v jednotném čísle. Proto se zdá přirozené brát v úvahu případ skutečného kontextu s jeho jedním skutečným kořenem a zvlášť případ hlavního kořene ve složitém kontextu.
Ve skutečném kontextu je kořen krychle −8 −2.
Ve složitém kontextu je hlavní kořenová krychle −8 1 + i \ sqrt {3}. Může se to zdát divné, že kořen vybraný ve skutečném kontextu není také vybrán ve složitém kontextu, přestože je skutečný kořen k dispozici. Hlavním kořenem ve složitém kontextu je však ten, který je nejblíže tomu, aby byl na kladné reálné ose, a pokud jsou dva spojeny, protože jsou nejbližší, vezměte ten s pozitivní imaginární částí. Kořen kostky není spojitou funkcí v komplexní rovině – je zde řez větve podél záporné reálné osy.