Nejlepší odpověď
\ frac {d} {dx} není „věc“. Měli byste o tom přemýšlet, jako by se jednalo o název akce nebo operace nebo o funkci, která přijímá jeden vstup. [1]
Konkrétně, pokud je f (x) funkce, možná budeme chtít provést na této funkci akci diferenciace; jedním ze způsobů psaní této akce je \ frac {d} {dx} f (x). To znamená, že f (x) je vstupem do operace diferenciace s ohledem na x.
Gramaticky tedy \ frac {d} {dx} není „úplnou větou“ , nebo dokonce soběstačné podstatné jméno. Je to spíš jako sloveso, které potřebuje přímý objekt. Tím přímým objektem může být jakákoli funkce x – zvláště pokud je y funkcí x, pak \ frac {d} {dx} y má smysl psát . V angličtině tato fráze znamená „výsledek převzetí derivace s ohledem na x x“. Pro stručnost to obvykle píšeme jako \ frac {dy} {dx}, ale dokud vám nebude vyhovovat notaci \ frac {d} {dx}, navrhuji, abyste i nadále psal vstup operace diferenciace doprava, jak jsem to dělal.
K vaší druhé otázce: pravidlo řetězu je způsob výpočtu derivace složení funkcí.
[1] Ano, já vím, funkce jsou také věci.
Odpovědět
Nechť f být funkce:
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) kde x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Let „vypočítá \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. Diferenciací (1) získáme:
(2) df = \ frac {\ parciální f} {\ parciální x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ parciální f } {\ částečné x\_ {n}} dx\_ {n}
Pokud rozdělíme obě strany dt, výsledkem je:
df = \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
Dostaneme konečný výsledek:
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ {1}} x „\_ {1} (t) + … + \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ {n}} x „\_ {n} (t) Tato derivace se provádí pomocí definice diferenciálu funkce s více proměnnými (rovnice (2)).
Jak jsme se tedy k této definici dostali? Podívejme se nejprve, jak definujeme, že f je v určitém bodě A diferencovatelný.
Pokud můžeme ukázat, že celkový rozdíl funkce f v určitém bodě A vypadá takto:
\ trojúhelník f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ trojúhelník x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
kde p\_ {k} je nějaký numerický koeficient, \ omega je funkce, která má vlastnost \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0 a \ rho (X, A) je euklidovská vzdálenost mezi A a X, pak říkáme, že funkce f může být diferencována v bodě A.
Nyní budeme potřebovat ještě jednu větu:
Výraz \ omega (X) \ rho (X, A) z výše uvedeného může zapsat jako:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
Důkaz:
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ vlevo (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})}} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
protože | x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A), protože | x\_ {k} -a\_ {k} | je hrana a d \ rho (X, A) je úhlopříčka pravoúhlého rovnoběžnostěnu, můžeme zlomek vzít \ epsilon\_ {k} (X).
Nyní potřebujeme jen jednu větu, abychom se dostali k diferenciálu. Tato věta nám poskytne potřebné podmínky, abychom mohli mít diferenciál funkce.
Pokud je funkce f může být diferencované v určitém bodě A, pak v tomto bodě existují částečné diferenciály a je pravda, že:
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k} – a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
Důkaz:
Protože jsme řekli, že f lze rozlišit v bodě A, můžeme psát:
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
Řekněme, že n-1 proměnné jsou zde konstantní a necháme jen jednu změnu po maličkosti. Například: x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, dostaneme:
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n}) – f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. Na levé straně máme rozdíl vzhledem k x\_ {1}. Vydělíme-li obě strany x\_ {1} -a\_ {1} = \ trojúhelník x\_ {1} dostaneme:
\ frac {\ trojúhelník f\_ {x\_ {1}}} {\ trojúhelník x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
Nyní, pokud x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , to je \ trojúhelník x\_ {1} \ mapsto 0, na levé straně máme částečný rozdíl vzhledem k x\_ {1} a na pravé straně nám zbylo p\_ {1}, protože jsme to řekli \ omega (X) \ mapsto 0. Je snadné vidět, že stejný výsledek platí bez ohledu na to, kterou proměnnou nakonec změníme, proto jsme tuto větu prokázali. Odtud máme to
df = \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ částečné f} {\ částečné x\_ { n}} dx\_ {n} které jsme použili k nalezení řešení.