Nejlepší odpověď
Operátor Del je způsob, jak najít derivaci vektoru. Možná jste obeznámeni s hledáním derivace pro skalární funkce, kterou lze vyjádřit něčím ve tvaru.
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f „(x)
kde f (x) je funkce x, f „(x) je jeho derivace a \ frac {d} {dx} je termín, který nám říká, abychom derivaci brali jako první. \ Frac {d} {dx} si můžete představit jako „derivační operátor“, protože vám říká, abyste si vzali derivaci věci, u které je vedle.
Nyní to chceme udělat také pro vektory, nejčastěji to jsou ty, které jsou reprezentovány v kartézských souřadnicích (funkce x, yaz). Proč? Protože mnoho fyzikálních jevů (například elektrických nebo gravitačních polí) lze popsat jako vektory a změny těchto jevů (a tedy i jejich derivátů) jsou důležité.
Jak tedy vezmeme derivaci vektoru ? Používáme operátor Del. Protože to chceme použít s vektory, bude to muset být samotný vektor. A protože jej chceme použít pro všechny tři kartézské souřadnice a nejen pro x, bude mít více písmen. Nakonec operátor Del vypadá velmi podobně jako náš výše uvedený „derivační operátor“, ale s několika dalšími výrazy:
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ částečné} {\ částečné x } + {\ hat y} \ frac {\ částečné} {\ částečné y} + {\ hat z} \ frac {\ částečné} {\ částečné z}
\ nabla je to, čemu říkáme Del Operator, ačkoli symbol je oficiálně „nabla“; Upřímně jsem se učil, že se tomu říká převrácená delta! Kromě pouze derivace vzhledem k x nyní vezmeme také částečné derivace vzhledem k y a z. Když vezmeme částečnou derivaci, zacházíme se všemi proměnnými kromě jedné jako s konstantami a bereme derivaci s ohledem na naši zvolenou proměnnou.
Nyní, protože existují dva způsoby, jak násobit vektory, přirozeně dostaneme dvěma způsoby, jak převzít vektorovou derivaci. Dva způsoby, jak znásobit vektory, jsou použití „ dot product a cross product ; výsledkem každého násobení je skalární hodnota, respektive vektorová hodnota.
Příkladem použití tečkového součinu je výpočet divergence elektrického pole:
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
Zde vezmeme derivaci pomocí tečkového součinu a zůstane nám skalární hodnota {\ rho} \_v, což je objemová hustota náboje v oblast.
Příkladem použití součinového produktu je výpočet zvlnění elektrického pole:
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – \ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
Zde vezmeme derivaci pomocí křížového produktu a zůstane nám vektorová hodnota \ mathbf {B} (konkrétněji její časová derivace).
Operátor Del je však užitečný i mimo vektory. Pokud s operátorem Del zacházíme jen jako se součtem tří různých věcí, můžeme ho vynásobit nějakou skalární funkcí a tato funkce se distribuuje po celé věci:
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ parciální f (x, y, z)} {\ parciální x} + {\ hat y} \ frac {\ parciální f (x, y, z)} {\ parciální y} + {\ hat z} \ frac {\ parciální f (x, y, z)} {\ parciální z}
V tomto případě jsme ze skaláru udělali vektor! Toto se označuje jako „přechod“ skalární funkce. Co dělá, je to, že vám řekne, ve kterém směru se funkce mění nejrychleji. Toto se často používá pro potenciální pole, která mají podobu:
\ displaystyle F = – \ nabla \ mathbf {U}
kde \ mathbf {U} je potenciální energie (například pružina nebo gravitace) a F je síla, která je výsledkem umístění do tohoto pole. Je to stále vektorová derivace, což je to, co jsme popsali Del Operator jako dříve, je to jen to, že je to vektorová derivace skaláru místo vektorové derivace vektoru. Ano, také existují!
A pokračuje to. Možná jste viděli výraz {\ nabla} ^ 2; toto je známé jako Laplacian a je vidět na věcech, jako je vlnová rovnice. Je to v podstatě jen použití Del Operator dvakrát za sebou. Může být rozšířen do dalších souřadnicových systémů s více proměnnými nebo snížen na dvě nebo jednu dimenzi. Je to velmi důležitý koncept a používá se téměř ve všech odvětvích fyziky!
Odpověď
Operátor del (někdy také nazývaný nabla) je definován takto v kartézských souřadnicích :
\ nabla \ equiv \ frac {\ částečné} {\ částečné x} \ hat {i} + \ frac {\ částečné} {\ částečné y} \ klobouk {j} + \ frac {\ částečné} {\ částečné z} \ klobouk {k}
Pokud jde o fyzický význam?
Operátor del působí jako ekvivalent vektorového počtu prostorové derivace. S operátorem del jsou spojeny tři typy derivátů. Předpokládejme, že A je vektor a \ phi je skalární.
Přechod: grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x} \ hat {i} + \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné y} \ hat {j} + \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné z} \ hat {k}
Divergence: div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ částečné A\_x} {\ částečné x} + \ frac {\ částečné A\_y} {\ částečné y} + \ frac {\ částečné A\_z} {\ částečné z}
Zvlnění: zvlnění (A) = \ nabla \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ částečné} {\ částečné x} & \ frac {\ částečné} {\ částečné y} & \ frac {\ částečné} {\ částečné z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
Každý z těchto typů derivátů má zajímavé vlastnosti, které si můžete sami vygooglit.
Doufám, že to pomůže!
Poznámka: Všechny tyto rovnice se liší v jiných souřadnicových systémech (např. sférické, válcové) . Buďte opatrní!