Nejlepší odpověď
V elektromagnetickém záření (radiometrii) se jedná o koncentraci nebo funkci vlnové délky osvětlení (radiometrická exitance).
Intenzita záření a světelný tok nebo vnímaná síla světla jsou příklady spektrálního rozdělení.
Distribuce spektrálního výkonu ve viditelném spektru ze zdroje může mít různé koncentrace relativních SPD. Například relativní rozložení spektrální síly slunce vytváří bílý vzhled, je-li pozorováno přímo, ale když sluneční světlo osvětluje zemskou atmosféru, obloha se za normálních podmínek denního světla objeví modrá.
SPD může být také slouží k určení odezvy senzoru při stanovené vlnové délce.
Doufám, že se vám tato odpověď líbila! Prosím, hlasujte a následujte mě 🙂
Odpovědět
Možná to je užitečné nejprve zvážit následující klamně elementární otázku:
Otázka: Co je kvalitativní, nealgebraická vlastnost diagonalizovatelných matic, které je odlišují od nediagonalizovatelných matic? (Zapomeňte na to, zda je diagonalizace prozatím prováděna jednotně.)
Jedna odpověď na tato hloupá otázka začíná pozorováním, že diagonální matice mají následující
Polynomiální vlastnost diagonalizovatelných matic: Pokud A je diagonalizovatelná matice a P je skutečný polynom, pak P (A) závisí pouze na hodnotách P (lamda) P na vlastních hodnotách lamda A.
Zde používáme
Definice aplikace polynomu na matici: Je-li P (x) polynom?
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
a A je matice, pak definujeme
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
kde I je matice identity a kde se exponenty tvoří pomocí násobení matic.
Tuto polynomickou vlastnost diagonalizovatelných matic výše můžete prokázat diagonalizací A a pohledem na to, co se stane, když si polynom úhlopříčné matice.
U diagonalizovatelné matice lze rozšířit pojem aplikace funkcí na matice z polynomů na libovolné fu funkce používající následující
definice (funkční počet pro diagonalizovatelné matice, neelegantní forma): Nechť A je diagonalizovatelná matice a nechť f být funkce se skutečnými nebo komplexními hodnotami vlastních čísel A. Pak f (A) je matice
f (A) = M f (D) M ^ -1,
kde
A = MDM ^ -1
je diagonalizace A, s D úhlopříčkou a M invertibilní, a kde f (D) je vytvořeno nahrazením každé diagonální vstupní lamdy D podle f (lamda).
Příklad: Nechť f (x) = x ^ (1/3) být krychlový kořen funkce a nechť A je diagonalizovatelná matice. Pak C = f (A) je ve skutečnosti krychlový kořen A: C ^ 3 = A.
Příklad: Pokud A je nonsingular a diagonalizable a f (x) = 1 / x, pak f (A) je inverzní matice A.
Příklad: Pokud je A diagonalizovatelné a f (x) = exp (x), pak f (A) je maticový exponenciál A, daný obvyklou Taylorovou řadou:
exp (A) = I + A + A ^ 2/2 + A ^ 3/3! + …..
Chcete-li vidět, že tato definice f (A) je dobře definovaná (tj. nezávislá na diagonalizaci), a zjistit, jak postupovat v případě nediagonalizovatelného případu, je užitečné znovu definovat f (A) pro úhlopříčku A v následující podobě:
Alternativní definice (funkční počet pro diagonalizovatelné matice, lepší forma): Nechť A je úhlopříčná matice a nechť f je funkce se skutečnými nebo komplexními hodnotami vlastních čísel A. Pak f (A) = P (A), kde P je polynom zvolený tak, že f (lamda) = P (lamda) pro každou vlastní hodnotu lamda A.
Zejména není nutné skutečně diagonalizovat matici, abychom mohli vypočítat funkci f (A) matice: Interpolace f na vlastních hodnotách A dává polynom dostatečný k výpočtu f (A).
Co se stane, když A není diagonalizovatelné? Pokud pracujeme s komplexními čísly, pak Jordan normal form říká, že výběrem vhodného základu lze takovou matici zapsat jako matici s blokovou úhlopříčkou, přímý součet Jordan Blocks Jn like
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
kde Jn je úzkostná matice s komplexním číslem a na úhlopříčce a řetězcem 1 „s nad úhlopříčkou. Všimněte si, že v každém případě má Mn jedinou vlastní hodnotu a multiplicitu n.
Žádný z těchto bloků Jordan nelze diagonalizovat, protože následující věta říká, že Jordan Blocks nesdílejí vlastnost polynomu pro diagonální matice :
Věta: (Působení polynomů na bloky Jordan) Nechť P je polynom, a nechme Jn být nxn Jordanovým blokem výše uvedené formy. Potom P (J) závisí pouze na P (a) a na jeho prvních n derivátech v a. IE
P (J2) = P (a) P „(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P „(a) P“ „(a) / 2 0 P (a) P“ (a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P „(a) P“ „(a) / 2! P“ „(a) / 3! 0 P (a) P „(a) P“ „(a) / 2! 0 0 P (a ) P „(a) 0 0 0 P (a)
a tak dále.
Výše uvedenou větu lze ověřit tak, že ji zkontrolujeme, zda neobsahuje monomialy, a poté se rozšiřuje na polynomy, které jsou pouze lineární kombinací monomiálů. >
Abyste zjistili, jak to souvisí s výpočetními funkcemi matic, zvažte následující problém, který aplikuje kořenovou funkci krychle na matice:
Problém (krychle kořenů matic): Nechť A je nonsingular mxm reálná nebo komplexní matice. Najděte kořen krychle C = A ^ (1/3) z A, což je matice C taková, že A = C ^ 3.
Uvádíme dvě řešení: První zahrnuje výslovně výpočet Jordanské formy matice A a druhá používá pouze existenci Jordanského formuláře bez explicitního výpočtu.
Řešení 1: Jordanským formulářem , můžeme matici A rozložit na Jordanovy bloky Jn výběrem základny, takže omezíme úvahu na případ, že A = Jn pro nějaké n. Například pro nějaké komplexní číslo a,
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
Nyní není těžké ukázat, že existuje polynom
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
takové, že na vlastní hodnotě a J3 má
P (a) = a ^ (1/3) P „(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P“ „(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(Protože předpokládáme, že žádné vlastní číslo není 0, nic není nekonečné.)
(IE P je funkce x -> x ^ 1/3 až do druhé derivace v bodě x = a. V definici a ^ 1/3 je v komplexním případě určitá nejasnost, proto jsem napsal ^ (- 2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2) postarat se o to, což znamená, že ve všech třech vzorcích je použit stejný kořen kostky.) Ve skutečnosti
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x – a ^ (- 5/3) x ^ 2) / 9,
i když jsme vlastně nemuseli počítat P, protože z obecného vzorce pro P (J3) ve větě výše,
P (J3) = a ^ 1/3 1/3 a ^ (- 2/3) -2/9 a ^ (- 5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (- 2/3) 0 0 a ^ (1/3)
Toto je pouze náš požadovaný krychlový kořen J3!
C = P (J3).
Chcete-li vidět tuto poznámku,
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
kde R (x) je polynom vyhovující
R (x) = (P (x)) ^ 3.
Důležitou vlastností R je, že bod x = a, polynom R = P ^ 3 odpovídá funkci identity x -> x až po deriváty řádu 2
R (a) = a R „(a) = 1 R“ „(a) = 0,
takže podle obecného vzorce pro polynom aplikovaný na blok Jordan,
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R „(a) R „“ (a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R „(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
podle potřeby.
Řešení 2: Pokud A je matice mxm, najděte polynom P (x) tak, aby na každé vlastní hodnotě x = a z A polynom a jeho deriváty řádu až m-1 odpovídají požadované funkci x -> x ^ 1/3. Pak C = P (A) je požadovaný krychlový kořen A.
Všimněte si, že řešení 2 funguje, protože všechny Jordanovy bloky A budou mít velikost menší než n, a řešením 1 polynom P nahradí každý jordánský blok kořenem krychle. Protože jsme se neobtěžovali explicitně vypočítat Jordanovu formu A, mohl by být polynomiální P, který jsme použili, zbytečně vysokého stupně, protože jsme neznali délky Jordanových řetězců. Polynomiální interpolace však pravděpodobně nefungovala tak dobře jako výpočet Jordanské formy. (Dále jsme se tímto způsobem vyhnuli jakýmkoli numerickým nestabilitám spojeným s Jordanskou formou a zdegenerovali vlastní čísla.)
Příklad krychle root zve následující definici:
Definice (varianta Dunfordova kalkulu v případě konečných rozměrů) : Nechť A je samo adjointová matice. Nechť f je skutečná nebo komplexní funkce, jejíž doména obsahuje vlastní čísla A. Pak
f (A) = P (A),
kde P (x) je polynom tak, že pro každé vlastní číslo x = a
P (a) = f (a) P „(a) = f“ (a) P „“ (a) = f „“ (a ) …………
, kde počet odpovídajících derivátů je alespoň velikost největšího řetězce 1 s v bloku Jordan odpovídající vlastní hodnotě a.
Lze ověřit, že výsledek aplikace funkce x-> 1 / x na matici A je ve skutečnosti obvyklá inverzní matice A. Lze také ověřit, že výsledek aplikace exponenciální funkce nebo sinusová funkce na matici A je stejná jako aplikace odpovídající Taylorovy řady pro exp nebo sin na matici A.
Pojem aplikace funkce na matici se nazývá „funkční počet“, který proto se Dunfordův kalkul nazývá „kalkul“.
V definici Dunfordova kalkulu je standardně požadováno, aby f mělo komplexní derivace, a obecně to definujeme pomocí Cauchyho integrálního vzorce v případě nekonečné dimenze. „Prořízl jsem to všechno, abych vysvětlil jednoduchý konečný rozměrný případ, a vyhnul jsem se vysvětlování, co je to derivace funkce od komplexních čísel ke komplexním číslům. (Naštěstí je funkce x-> x ^ (1/3) v nenulových realitách nekonečně diferencovatelná.) Mohou zde být nějaké jemnosti, ale snažím se poskytnout rychlý přehled konceptů.
Je tedy zřejmé, že v jistém smyslu je Jordanská forma v podstatě Dunfordovým kalkulem a spektrální věta je funkčním kalkulem pro operátory s vlastním adjunktem. (Ta je hlediskem, který zaujali Reed & Simon v „Methods of Matematická fyzika I: Funkční analýza. Tato diskuse je pouze konečně-dimenzionální, ale Reed a Simon zvažují případ nekonečné dimenze.)
Každopádně výsledkem toho všeho je, že diagonalizovatelnost souvisí s představami o funkce matic. Tomu se říká funkční kalkul a existuje mnoho funkčních kalkulů.
Nyní je samoadjunkce o něco hlubší, protože implikuje jednotnou diagonalizovatelnost, nejen diagonalizovatelnost. Vlastní prostory se stávají ortogonálními. Nemyslel jsem na dobrý způsob, jak vysvětlit, co je na tom intuitivně zásadní. V kvantové mechanice jsou však ortogonální vlastní prostory dokonale rozeznatelné a samoadjungování se stává přirozenou podmínkou. Spektrum atomu vodíku jsou jen rozdíly vlastní čísla jeho hamiltonovského operátoru.
Přijít s intuitivním vysvětlením, proč kvantová mechanika zahrnuje takovou matematiku, je mimo mě.