Nejlepší odpověď
Vysvětlí to pomocí příkladu. Obrázek ukazuje nosník naložený a podepřený, jak je znázorněno. Naším zájmem je zjistit reakce a síly u všech členů krovu. Reakce a síly v prutech závisí nejen na velikosti a směru použitých sil, ale také na jejich umístění, tj. Bodech aplikace. Prostorový diagram se stará o místo působení sil a geometrii vazníku.
Výše uvedený obrázek je jen pro získání reakcí. Použitá síla P\_1 je ab a síla P\_2 je bc ve vektorovém diagramu. Reakce R\_1 se rovná da a reakce R\_2 se rovná cd ve vektorovém diagramu.
Můžeme dále pokračovat v prostorovém diagramu a vektorovém diagramu k výpočtu sil ve všech prutech. Nedělá se to jen proto, aby byla figura velmi snadno pochopitelná.
Podmínka rovnováhy je splněna, když se uzavře vektorový diagram a polygonový polygon.
Odpovědět
It není úplně jasné, co zde znamená „pozice“, ale myslím, že odpověď by mohla být, že vektory nemají pozice, ale vektorové prostory mohou mít pozice, a tyto dva nápady pokrývají aplikace.
Já m zde předpokládáme, že nedostatek „pozičnosti“ v otázce odkazuje na skutečnost, že paralelní „šipky“ stejné délky a orientace představují stejný vektor. Existuje mnoho důvodů pro zavedení této konvence.
- Jednou ze základních myšlenek základního použití vektorů je koncept posunutí , který je také zdrojem rychlosti, zrychlení a (pomocí F = ma) síly. Posunutí nemají polohu, spíše existuje potenciální posunutí daného směru a velikosti v každé poloze. Pokud řekneme „hlava deset mil severozápadně“, jedná se o instrukci posunutí, která platí všude, a nikoli pouze o určité konkrétní místo.
- Posunutí lze kombinovat, ale pouze v případě, že druhé posunutí začíná tam, kde končí první . Pokud jsou posuny reprezentovány šipkami, pak pro získání kombinovaného posunu musí být jedna ze šipek přeložena, aby se získala konfigurace ocas od hlavy pro kombinovaný posun. To by samozřejmě nemělo smysl, kdyby přeložená šipka nepředstavovala stejný posun.
- Zkušenost s chováním sil vyžaduje schopnost překládat silové šipky, protože pokud jde o síly objekty se chovají, jako by veškerá jejich hmota byla soustředěna v jejich těžišti a všechny síly působily v tomto bodě. (Byl jsem zde opatrný s kurzívou, protože při zavádění momentů se děje něco jiného!)
Matematickou abstrakcí pokrývající všechny tyto situace je vektorový prostor. Pokud potřebujeme mít šipky, které mohou být umístěny kdekoli, uložíme relaci ekvivalence na sadu šipek, čímž jsou dvě šipky ekvivalentní, pokud jsou rovnoběžné a mají stejný směr. („Stejný směr“ má intuitivní obsah, který je trochu složitý, aby byl systematický.) vektor se poté změní na třída ekvivalence šipek, a přidání vektoru je definováno převzetím „pohodlných“ zástupců tříd a jejich přidáním buď pomocí zákona ocas od hlavy nebo rovnoběžníku.
Použití tříd ekvivalence a jejich zástupci by neměli vůbec působit zvláštně; je to přesně to, co děláme se zlomky. Za „zlomek“ lze považovat třídu ekvivalence symbolů a / b (b \ ne 0) v rámci ekvivalenčního vztahu a / b \ equiv (na) / (nb). Když chceme přidat dva „zlomky“, zakořeníme o jejich příslušných třídách ekvivalence, dokud nenajdeme dva zástupce se stejným jmenovatelem, a pak přidáme čitatele. Sčítání vektorů je velmi podobné tomuto. Navíc u zlomků existuje „upřednostňovaná“ sada zástupců tříd, zlomky „v nejnižších termínech“. Pro vektory existuje také „upřednostňovaná“ třída zástupců, vektory, jejichž ocasy jsou na počátku, a ty jsou považovány za abstraktní prvky vektorového prostoru, když je ve hře analogie šipek.
Nyní existují situace, ve kterých opravdu záleží na tom, kde je šipka, pohyb šipky nemá smysl a šipky umístěné v různých bodech nelze a neměly by být přidány. Takovým příkladem je mapa počasí se šipkami představujícími rychlost větru na různých místech. Příkladem jsou také výše zmíněné momenty; záleží na umístění síly vzhledem k těžišti a šipku síly nelze převést do jiného bodu bez změny výsledného točivého momentu. (Mimochodem, momenty samy o sobě jsou vektory, než je lze přidat.) Pro obecný matematický příklad se gradientní pole skalárního pole skládá ze šipek, které jsou připnuté na konkrétní místa a nejsou libovolně přeložitelné.
Elementární pozorování těchto vektorů závislých na poloze je, že obvyklý vektor vesmírné zákony (sčítání a skalární násobení) nadále platí pro všechny vektory v jakékoli pevné poloze . To nám říká, že „řešením“ hlavolamu závislého na poloze je umístit celý vektorový prostor v každém bodě daného prostoru. Výsledné prostory jsou obvykle se nazývá tečné prostory , protože tečný prostor v bodě lze považovat za množinu všech vektorů rychlosti pro parametrizované cesty tímto bodem (za předpokladu dostatečné diferenciace pro popis, který dává smysl).
Soubor všech tečných mezer se nazývá tangenta svazek a nyní, pokud potřebujete mít v každém bodě vašeho prostoru vektor závislý na poloze, potřebujete mapu z prostoru do svazku tečny, který v každém tangenciálním prostoru vybere přesně jeden vektor odlišné body; taková mapa se nazývá část svazku a výsledná sbírka vektorů závislých na poloze se nazývá vektorové pole v původním prostoru.
Tímto způsobem si dáme dort a sníme ho také; vektory nemají „pozice“, ale vektorové prostory ano.