Nejlepší odpověď
Kontrovariantní tenzor 2. úrovně je symetrický, pokud je neměnný pod permutací jeho indexů. Jeho komponenty se při výměně indexů nemění a splňují následující podmínky:
T ^ {pq} = T ^ {qp}
Podobně je kovariantní tenzor 2. úrovně symetrický pokud je neměnný pod permutací svých indexů a jeho komponenty splňují následující podmínky:
T\_ {pq} = T\_ {qp}
Tenzory 2. úrovně mohou být obvykle reprezentovány maticemi , takže symetrie tenzoru v zásadě souvisí se symetrií matice, která ji představuje. Je známo, že pokud jsou položky symetrické (čtvercové) matice vyjádřeny jako A = (a\_ {pq}), pak a\_ {pq} = a\_ {qp} pro všechny indexy p a q. Symetrická matice se rovná její transpozici ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}).
Příklady symetrických tenzorů druhého řádu zahrnují metrický tenzor g \_ {\ mu \ nu} nebo Cauchyův tenzor napětí ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}), který lze zapsat v maticové podobě jako:
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
Pokud máme například tenzor vyššího řádu ve tvaru
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
o tenzoru se říká, že je symetrický vm a p.
Tenzor, který je symetrický vzhledem k jakýmkoli dvěma kontravariantům a libovolným dva kovariantní indexy jsou považovány za symetrické.
Tenzor se nazývá zkosený-symetrický nebo anti-symetrický, pokud
T\_ {qs} ^ {mpr} = – T\_ {qs} ^ {pmr}.
Obecně platí, že symetrický tenzor je tenzor, který je neměnný pod permutací svých vektorových argumentů:
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
pro každou permutaci σ symbolů {1, 2, …, r }. Alternativně může být symetrický tenzor řádu nebo pořadí r zastoupen v souřadnicích jako veličina s r indexy splňují
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Odpověď
Matice jsou obdélníková pole prvků z nějakého pole (obvykle \ mathbb {R} nebo \ mathbb {C}, ale ne vždy), která mají operace násobení jinou maticí a násobení definovaným prvkem pole.
Matice se používají k reprezentaci velkého množství různých věcí:
- koeficienty lineárních rovnic
- lineární transformace (vzhledem ke konkrétní uspořádané sadě základních vektorů)
- změna základů vektorových prostorů (vzhledem ke dvěma uspořádaným sadám základních vektorů)
- tenzory (konkrétně pořadí 2 tenzory)
- určité skupiny
- atd.
Některá z těchto použití mohou být zmatená: vzhledem k nesingulární čtvercové matici bez kontextu, při pohledu na něj nelze říci, zda představuje lineární transformaci (nebo na jakém základě je), změnu báze nebo tenzor.
Stručně řečeno, matice jsou velmi obecné.
Tenzory jsou vícerozměrné funkcionály na vektorech a funkcionálech (duální vektory). Jinými slovy, řádový tenzor n + m je funkce na n vektorech a m duálních vektorech, která vrací skutečné nebo komplexní číslo a je lineární na všech jeho argumentech.
Tenzory na konečných trojrozměrných vektorových prostorech může být reprezentován n + m-dimenzionálním polem prvků z pole vektorového prostoru a pro řád 2 tenzory je to často reprezentováno jako matice. Stejně jako maticová reprezentace lineárních transformací je vícerozměrná maticová reprezentace tenzoru závislá na použitém základě.
Tenzory jsou často popisovány, používány a někdy dokonce definováno , pokud jde o vícerozměrná pole prvků pole, s výhradou omezení transformace tenzoru s ohledem na diferenciální změny základních vektorů. Ale v jejich srdci jsou multilineární funkcionály na vektorech a lineárních funkcionálech.