Nejlepší odpověď
Vždy se můžete pokusit vypočítat několik menších exponentů a najít opakující se vzorec pro zbytky . Počítáme zbytek 2 ^ n děleno 18, počínaje n = 1:
- n = 1, 2 ^ 1 = 2, zbytek je 2;
- n = 2, 2 ^ 2 = 4, zbytek je 4;
- n = 3, 2 ^ 3 = 8, zbytek je 8;
- n = 4, 2 ^ 4 = 16 , zbytek je 16;
- n = 5, 2 ^ 5 = 32, zbytek je 14;
- n = 6, 2 ^ 6 = 64, zbytek je 10;
- n = 7, 2 ^ 7 = 128, zbytek je 2;
- n = 8, 2 ^ 8 = 256, zbytek je 4;
- \ cdots \ cdots
Ve skutečnosti, když se exponenty zvětší, nemusíte počítat skutečné síly 2; místo toho pouze vynásobíte předchozí zbytek číslem 2 a pak z tohoto výsledku najdete nový zbytek. Je jasné, že zbytky se opakují každých 6 čísel. Takže pro exponent 200 zjistíme zbytek, když je 200 vyděleno 6, což je 2. Proto zbytek, když je 2 ^ {200} vyděleno 18, je stejný jako zbytek pro 2 ^ 2, což se rovná 4.
Odpověď
2 ^ 4 \ equiv -2 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ 4) ^ 5 \ equiv (-2 ) ^ 5 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ 4) ^ 5 \ ekviv -32 \ pmod {18}
\ implikuje 2 ^ {20} \ ekviv 4 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ {20}) ^ 5 \ ekviv 4 ^ 5 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ {100}) \ ekv. 1024 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ {100}) \ ekviv -2 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ {200}) \ ekv (-2) ^ 2 \ pmod {18}
\ implikuje (2 ^ {200}) \ equiv 4 \ pmod {18}
\ text {tedy 4 je zbytek když} \, 2 ^ {200} \, \ text {je vyděleno 18}