Nejlepší odpověď
Spinor je jen vektor, který se chová odlišně při rotacích a určitých dalších transformacích .
Spíše než mluvit o obecných věcech si myslím, že je mnohem snazší myslet na spinory, když máte konkrétní matematický příklad, se kterým můžete pracovat. Tato odpověď bude dělat právě to. Nepředpokládají se žádné matematické znalosti nad rámec úvodní lineární algebry.
Techničtější úvod lze najít v Steaneův vynikající úvodní článek k tomuto tématu s podrobnějším zpracováním zde: https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
Všechny níže uvedené ilustrace jsou jeho. Pokud se mi něco pokazí, neváhejte to komentovat.
Co jsou to Spinors
Řekl jsem výše, že rotory byly jen vektory. Co to znamená? Znamená to, že mají všechny vlastnosti vektorů:
- lze je sčítat,
- vynásobit konstanta (nazývaná také skalární ),
- existuje něco jako „nulový“ spinor,
- a každý spinor má inverzní spinor.
Můžete jít dopředu a přidejte složitější požadavky:
- Dva spinory mohou mít dobře definovaný vnitřní produkt, stejně jako vektorové prostory.
- Spinor může mít smysluplnou délku, stejně jako další vektorové prostory.
atd.
O pouze požadavek na spinor, který to dělá na rozdíl od vektoru je to, že pokus otočit vám nepřinese očekávaný výsledek – pokus otočit o 360 stupňů vám nedává stejný spinor, ale otáčení o 180 stupňů vůle. Obecněji řečeno, rotace o úhel \ theta vyžaduje použití rotační matice pro úhel \ theta / 2!
S ohledem na to je zde jednoduchý spinor, který si lze představit v běžném trojrozměrném euklidovském prostoru a který předpokládá všechny vlastnosti, které jsem uvedl výše. Toto je nejjednodušší spinor a ten, který bude fyzikům nejznámější.
Zde je dokonale platný matematický popis spinoru výše:
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha – \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {- \ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
Pozdravte svého prvního spinora!
Přemýšlíte o spinnerech: varování
Než budu pokračovat, si všimněte něčeho: euklidovský prostor, jak jsem zmínil, je trojrozměrný – přesto mi stačí dvě komponenty, které představují můj spinor! Jak to může být? Nemusí mít všechny vektory stejný počet komponent jako dimenze prostoru, který zabírají?
Rozpor lze vyřešit jednou větou: spinors nežijí v euklidovském prostoru – mohou odpovídat objektům v euklidovském prostoru a věci, které se jim dělají, lze udělat tak, aby odpovídaly věcem provedeným v euklidovském prostoru, ale to není jejich domov.
Pravda je taková, že spinor nemá nemá dvě složky, jak jsem řekl výše (v tomto okamžiku pravděpodobně mžouráte na obrazovku a nadáváte si dech ). Spinor nemá stejnou orientaci jako vektor ve vektorovém prostoru, do kterého jsme jej vložili – můžete s ním modelovat objekty v běžném vektorovém prostoru, jak zde mám, ale skutečný spinor je definován více parametry než parametry běžného vektoru v takovém prostoru.
Jednoduše řečeno , kde by orientace obyčejného vektoru byla definována r, \ theta, \ phi, je orientace spinoru definována r, \ theta, \ phi, \ alpha a jeho znaménko (předpokládané jako pozitivní ve výše uvedeném příkladu) – správně řečeno, trojrozměrný vektorový prostor může být reprezentován čtyř- dimenzionálním spinor (znamení, protože může nabývat pouze dvou hodnot, lze také považovat za dimenzi, ale bylo by to zbytečné).
Tento spinor můžete zapsat buď jako vektor se čtyřmi složkami , jeden pro každý parametr, vynásobený znaménkem – nebo můžete použít trik, jako Udělal jsem a předstírat , že spinor má složité komponenty, což nám umožňuje úhledně napsat stejné spinor se znázorněním výše se dvěma souřadnicemi.To je důvod, proč se zdá, že má spinor dvě složky, když má opravdu čtyři parametry a přidruženou dimenzi, která s nimi souvisí, v trojrozměrném vektorovém prostoru: protože naše spinory existují ve svém vlastním komplexním prostoru, ne v trojrozměrném vektorovém prostoru.
Takže než půjdu dál, pamatujte : spinory musí mít pouze stejnou prostorovou dimenzi (tj. parametry požadované k určení jeho orientace v prostoru), ale ty nemusí být jedinými parametry, které ji definují. V tomto případě zacházím se složkami mého spinoru jako s komplexními hodnotami, což je důvod, proč to mohu tak stručně napsat do dvousložkového sloupcového vektoru – ale spinory mohou a mají více parametrů, což je důvod, proč jsou docela složité pracovat s.
V reálném životě bych důrazně doporučil zapamatovat si, že spinors opravdu „d
řídit tento bod domů, zvažte následující diagram:
Všimněte si, jak přítomnost úhlu vlajky komplikuje problémy tak jednoduché jako rotace a to, co představuje ortogonalitu. Je to další parametr , a to je ten rozdíl.
Kvůli problémům, které tato lichá rozměrnost spinoru přináší, nemůžete pro dvě dimenze použít běžnou rotační matici nejznámější, jmenovitě všudypřítomný \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} & – \ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} pro všechny úhel. To by bylo správné pro dvourozměrný vektor, ale i ty nejjednodušší rotory nejsou , jak jsem se snažil zdůraznit, dvojrozměrný. Rovněž nemůžete použít ani běžné trojrozměrné matice – určitě můžete přeložit účinek rotace na tyto lidi, ale přímo rozmnožte s nimi spinor, protože nepatří do stejného prostoru.
Jak otáčet spinery
Potom je rotace kolem každé osy dána vlastní speciální rotační maticí definovanou v a úplně jiný prostor, kde vlastně žijí spinory (spíše než euklidovský prostor). Pojďme s označovat rotační matice úhlem \ theta ve směrech x, y, z jako R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}. Pak ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ – \ sin {\ frac {\ theta} {2}} & \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
Tady je zábavná část: všimnete si jak všechny tyto rotační matice používají k otočení o úhel \ theta poloviční úhel \ frac {\ theta} {2}?
Je to pravda! Tento fenomén zdvojnásobení úhlu je charakteristickým znakem spinorů: můžete dokonce dokázat, že vynásobení spinoru těmito polovičními maticemi je ekvivalentní rotaci prostorové části plný úhel.
A to je doslova to : vše, co potřebujete vědět o spinorech – že jsou vektory žijícími ve svém vlastním zvláštním prostoru a mají své vlastní speciální rotační matice – pokryté jednou odpovědí Quora. Omezil jsem svou pozornost samozřejmě na nejjednodušší spinory, ale to podstatné všechny funkce jsou uvedeny. Pokud chcete získat více informací, obraťte se na Steane (výše uvedený odkaz).
Proč se o Spinory zajímáme
Spinors jsou důležití, protože se ukázalo, že jsou schopni popsat celé spektrum chování očekávané od subatomárních částic. Zejména částice přicházejí ve svazku se skutečným momentem hybnosti, což je vlastnost, kterou nazýváme spin (viz odpověď Briana Biho na Má spin subatomárních částic ve skutečnosti moment hybnosti? (tj. je částice ve skutečnosti * rotující *)? pro úplný popis).Modelováním částic jako spinorů spíše než běžných vektorů jsme schopni úspěšně popsat interakci, kterou od této rotace očekáváme, a také poskytnout úplný popis chování částic – spinory skutečně tvoří základ Diracovy rovnice, která nahrazuje Schrodingerovu rovnici poskytnout vlnovou rovnici kompatibilní se speciální relativitou a následně vytvořit základ kvantové teorie pole (rozšíření kvantové mechaniky k popisu sil).
Odpověď
Spinory jsou geometrické objekty, které existují v životě v reálných vektorových prostorech (na rozdíl od komplexních nebo kvaternionových vektorových prostorů).
Takže když se vrátíme zpět, vektor je objekt, který existuje v prostoru a říká se, že ukazuje daným směrem. To znamená, že pokud otočíte osami, vektor komponent se změní stejným způsobem.
Vektory mají tu vlastnost, že pokud je otočíte o 360 „, dostanete zpět stejný objekt.
Existuje řada geometrických objektů, které lze zkonstruovat z vektorů. Například můžete si vzít dva vektory a vynásobit je dohromady, abyste získali tenzory. Jedním z nich je zejména moment setrvačnosti. Tenzory mají tu vlastnost, že pokud je otočíte o 360 „/ N, dostanete zpět stejný objekt a pokud otočením o 360 „se vždy vrátíte zpět ke stejnému objektu.
V prostorech, které mají skupinu symetrie, která je ortogonální (ty, které přirozeně vznikají ve skutečných vektorových prostorech), existují i jiné typy geometrických objektů, které jsou netvoří se z vektorů. Jedním ze způsobů, jak to vidět, je, že pokud je otočíte o 360 „nedostanete zpět stejný objekt, skončíte s -1násobkem původního objektu – míří to do „opačný směr.
Toto jsou divné objekty; tyto objekty však přirozeně popisují točení 1/2 objektů ve fyzice.
Tyto objekty existují kvůli zvláštní vlastnosti, že skupina ortogonální symetrie je spojena dvojnásobně. Existuje zde bohatá matematická struktura, ale tyto objekty jsou morálně druhou odmocninou vektoru – to znamená, že pokud spojíte více dvou spinorů dohromady, získáte vektor, jako když vynásobíte dva vektory dohromady, získáte tenzor druhé úrovně jako moment setrvačnosti tenzoru.