Nejlepší odpověď
2x + y = 5, x – y = 1 má jedinečné řešení x = 2, y = 1. Řádky 2x + y = 5, x – y = 1 se kříží v jednom jediném bodě, a to je (1,2).
Pokud existují dvě rovnoběžné čáry jako např. x – y = 1 a x – y = 7, pak neexistuje řešení rovnic x – y = 1, x – y = 7. Pokud jsou 2 rovnice ve skutečnosti stejné, jako x – y = 1,5 x – 5y = 5, pak libovolný bod ležící na této přímce je řešením jako x = 3, y = 2 nebo x = 1 000 y = 999 a neexistuje žádné jedinečné řešení.
It se stává o něco zajímavější v situaci, kdy existují 3 proměnné, řekněme x, y, z.
2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 má jedinečnou řešení x = 1, y = 1, z = 1. Roviny 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 se protínají v jednom jediném bodě a to je (1,1, 1).
Pokud existují tři paralelní roviny jako x + y + z = 1, x + y + z = 4 a x + y + z = 8, pak neexistuje řešení rovnic x + y + z = 1, x + y + z = 4 a x + y + z = 8.
Pokud je jedna rovnice lineární kombinací dvou dalších, pak neexistuje žádné jedinečné řešení. Zde je příklad 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Nejen, že (1,1,1) je řešení, ale také (2,2, -2) a (3, 3, -7). Ve skutečnosti existuje nekonečno řešení.
Důvodem je, že jedna rovnice je lineární kombinací ostatních
3x + z = 4 je 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).
Existuje na to spousta odkazů, ale doufejme, že vám to dá nějakou představu o tom, co jsou jedinečná řešení v lineárních systémech.
Odpověď
Moje odpověď bude nejprve předpokládat, že se jedná o systém lineárních rovnic ve srovnání se systémem s lineárními nerovnostmi.
Krátká odpověď – vzájemně se vylučující možnosti: Žádné řešení, jedno jedinečné řešení nebo nekonečné množství řešení.
Dlouhá odpověď – Jaké jsou typy řešení, závisí do určité míry na tom, kolik rovnic a kolik proměnných v lineárním systému a jak chcete systém popsat.
Algebraically:
- Systém bez řešení se nazývá nekonzistentní systém . To znamená, že pro proměnné neexistuje žádná sada hodnot, která by současně řešila všechny rovnice v systému. Následující systém je nekonzistentní:
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x – 2 y – 6 z = 3
- x – 4 y – 2 z = 1
- Systém s přesně jedním řešením se nazývá konzistentní, nezávislý systém. Konzistentní, protože existuje řešení, a nezávislé, protože každá rovnice je nezávislá na ostatních rovnicích. To znamená, že každá hodnota proměnných v řešení je nezávislá na hodnotách ostatních proměnných. Existuje přesně jedna sada hodnot – jedna hodnota na proměnnou – která současně řeší všechny rovnice v systému. Toto je konzistentní, nezávislý systém (převzatý z mathisfun.com) s řešením x = 5 y = 3 z = -2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y – z = 27
- Systém s nekonečně mnoha řešeními se nazývá konzistentní, závislý systém. Je to závislé, protože alespoň jedna rovnice v systému je násobkem jiné rovnice nebo kombinace jiných rovnic. To znamená, že zatímco ostatní proměnné v systému mají pouze jednu hodnotu, která současně řeší všechny systémy, jedna nebo více proměnných může vyřešit systém s jakoukoli hodnotou. Následuje konzistentní, závislý systém s řešením y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y – 3 z = 3
- 2 x + 3 y – 2 z = 8
Graficky (jako příklad 3 proměnný systém):
- Systém se dvěma proměnnými může být reprezentován skupinou čar na dvourozměrném grafu (obvykle xy), zatímco systém se třemi proměnnými je soubor linií nebo rovin na trojrozměrném grafu (obvykle xyz).Takže systém s n mnoha proměnnými je reprezentován v n- dimenzionálním grafu.
- V konzistentním a nezávislém systému se všechna letadla setkávají v jednom bodě (tj. 2 stěny a podlaha v rohu). V konzistentním nezávislém systému použitém výše v algebraické odpovědi se všechny tři roviny protínají v bodě (5,3,2).
- V konzistentní „Závislý systém , všechna letadla se nesetkávají pouze v jednom bodě, ale v řadě (tj. tři stránky knižní schůzky v páteři). V systému použitém výše v algebraické odpovědi se všechny tři roviny protínají na řádku -5 y + 20 z = 27 (Všimněte si, že x může být v řešení jakákoli hodnota).
- V nekonzistentní systém , minimálně dvě roviny jsou paralelní, a proto se nikdy nesetkávají. Třetí rovina může být rovnoběžná s oběma rovinami (tj. Silničními liniemi na ulici) nebo se může protínat oběma, ale nikdy na stejném místě. (tj. protilehlé stěny v místnosti a strop).