Nejlepší odpověď
Obecná definice prostoru v matematice opravdu neexistuje. Téměř jakýkoli objekt, který nás napadne vizuálně, lze nazvat prostorem. Metrické prostory, různá potrubí, Hilbertovy prostory, oběžná potrubí, schémata, měřící prostory, pravděpodobnostní prostory a moduly modulů jsou vše, čemu říkáme mezery.
Nejbližší věc k obecné definici prostoru je pravděpodobnost pojem topologický prostor. Například metrické prostory, různá potrubí, Hilbertovy prostory, kruhová potrubí a schémata jsou topologické prostory s trochu větší strukturou.
Topologický prostor se skládá ze sady bodů, X a kolekce podmnožin. z X, které nazýváme „otevřené“, za podmínek, že
- Prázdná množina a X samotné jsou otevřené,
- Libovolné sjednocení otevřených množin je otevřené,
- A průsečík dvojice otevřených množin je otevřený.
Otevřené množiny mají být jako otevřené podmnožiny \ mathbb {R}. S rizikem neurčitosti uvažujeme o otevřených množinách jako o těch podmnožinách U z X, takže každý bod U může být trochu posunut, aniž by opustil U. To je doslova případ \ mathbb {R}, protože otevřené sady jsou definovány jako podmnožiny U, takže pro všechna x \ v U je \ epsilon> 0, takže (x – \ epsilon, x + \ epsilon) \ podmnožina U (tj. posunutí x o méně než \ epsilon nepovede k bodu mimo U).
Ukazuje se, že toto minimální množství informací – sada bodů a soubor otevřených podmnožin – stačí k tomu, aby bylo možné zjistit, zda jsou funkce spojité. Díky tomu jsou topologické prostory opravdu užitečné.
Na druhou stranu, ne každý prostor v matematice je topologický prostor, nebo dokonce, jak již odpověděli ostatní, sada bodů s nějakou strukturou navíc. To bylo něco, co mě už před několika semestry překvapilo.
Protiklad, který mám na mysli, je myšlenka na moduli stack, což (to se stává divným!) Je zvláštní druh funktor F: \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, kde je preimage každého objektu D z \ mathcal {D} považována za kolekci spojitých funkcí z D do prostoru, který má představovat F.
Jak je to na Zemi vesmír? Chcete-li získat nějakou intuici, zvažte sadu spojitých funkcí z prostoru skládajícího se z jednoho bodu do topologického prostoru X. Pro každý bod p \ v X dostaneme funkci, která vezme jediný bod na p. V tomto smyslu množina spojitých funkcí od bodu do X popisuje body X. Pokud vezmeme v úvahu funkce od něčeho, kdo je znalý, řekněme úsečkový segment, do X začneme získávat představu o tom, jak body X souvisejí s navzájem – které mohou být navzájem spojeny cestou, které jsou blízko a které jsou daleko od sebe atd. Když vezmeme v úvahu všechny možné sady funkcí do X, můžeme vlastně odvodit přesně , co je X. Toto je nápad, který se nazývá Yoneda Lemma . Myšlenkou zásobníku modulů je použít to jako metaforu: k definování „prostoru“ lze použít jakýkoli funktor, který „vypadá“, že popisuje funkce do topologického prostoru.
Co chci zdůraznit je toto: v matematice existuje mnoho druhů prostorů, ale pokud chcete získat základní představu o tom, co je to prostor, měli byste studovat topologické prostory. To znamená, že se věci stanou divnými!
Odpověď
Prostor sám o sobě nemá příliš formální definici. Je to téměř matematická verze slova „věc“. Možná bližší synonymum je „set“, ale slovo „space“ implikuje, že existuje nějaká další přísada … nějaká struktura … to je také ve hře. Jinak „použijí slovo“ set. „
Různé druhy mezer mají definice. Vektorový prostor je sada vektorů, která dodržuje některá pravidla. Topologickým prostorem je sada společně se speciální kolekcí podmnožin která splňují některá pravidla. Metrický prostor je množina společně s vhodným vzorcem, který vám řekne vzdálenost mezi body v množině. Speciální typy mezer často mají popisná jména, jako jsou tato.
Jiné typy prostorů jsou pojmenovány podle lidí, kteří je studovali. Banachovy prostory, Hilbertovy prostory, Sobolevovy prostory … to jsou všechny speciální typy vektorových prostorů s trochou zvláštní struktury díky nimž jsou svým způsobem zajímaví a jsou pojmenováni po lidech, kteří se významně podíleli na vývoji tohoto příběhu.