Nejlepší odpověď
Výraz v příspěvku otázka není zcela správná.
Binomická věta
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
platí pro všechna komplexní čísla x a y a nezáporná celá čísla n .
Nechť x = 1 a y = -1. Na pravé straně pak budete mít požadované střídavé rozdíly a součty kombinací (které jste označili jako zvolit s). Na levé straně máte 0 ^ n, což zjevně předpokládáte, že je 0. Avšak binomická věta, jak je uvedeno výše, platí pro všechna nezáporná celá čísla n , který obsahuje 0, v tom případě je levá strana 0 ^ 0 = 1 – případ, který jste neumožňovali.
Pokud mi nevěříte, vyzkoušejte toto triviální cvičení: Napište několik prvních řádků Pascalova trojúhelníku. Vzorec „vybrat“ v odeslané otázce je ekvivalentní výběru libovolného řádku a počínaje od prvku zcela vlevo (což je vždy 1, bez ohledu na to, jaký řádek vyberete), poté odečtěte další prvek doprava a pokračujte ve střídání sčítání a odčítání všechny prvky této řady. Všimněte si, že s řádkem obsahujícím 1 1 a řádkem obsahujícím 1 2 1 a řádkem obsahujícím 1 3 3 1 se tímto procesem získá 0. Co se však stane v horním řádku, který obsahuje pouze 1? Začínáme s touto 1 a připravujeme se na odečtení dalšího prvku, ale není zde další prvek, takže jsme již hotovi s výsledkem 1, ne 0. Není vůbec nutné vyloučit horní řádek z konceptu, že střídavé rozdíly a sčítá výnosy 0 ^ n pro všechny řádky.
Pokud jste jedním z těch, kteří mají zavěšení ohledně 0 ^ 0 = 1, musíte se přes toto zavěšení dostat, alespoň v kontextu celočíselných exponentů. Pokud považujete 0 ^ 0 za nedefinovanou, vyhodíte stejně binomickou větu a výše uvedený důkaz, protože binomickou větu nelze použít k vyhodnocení (0 + y) ^ {n} a (x + 0) ^ { n}, bez ohledu na hodnotu n , protože poslední člen v binomické expanzi pro první mocninu a první člen v binomické expanzi pro druhou mocninu oba zahrnují 0 ^ 0, takže byste museli tuto částku nazvat nedefinovanou a přidat jinak naprosto zbytečné a hloupé vyloučení, že binomická věta neplatí pro x = 0 a pro y = 0. Také byste porušili pravidlo prázdného produktu, které naznačuje, že produktem žádných faktorů nesmí být multiplikativní prvek identity , 1. Vztah 0! = 1 je také důležitý pro binomickou větu a mnoho dalších míst – ale s 0! jeden násobí společně žádné faktory počínaje 1, takže je to prázdný produkt a je to nakonec pravidlo prázdného produktu, které nám říká, že 0! = 1. Stejné pravidlo s prázdným produktem nám říká, že x ^ 0 = 1 pro všechna komplexní čísla x a hodnota x se pravidla prázdného produktu nijak netýká, takže ano, x = 0 platí stejně dobře jako jakákoli jiná hodnota x – žádné výjimky nejsou žádným způsobem odůvodněny.
Existují řada dalších důvodů pro uvažování 0 ^ 0 = 1 přinejmenším v kontextu celočíselných exponentů: formulační definice polynomů a mocninných řad pomocí notace and a manipulace s takovými polynomy a mocninnými řadami, různé kombinatorické problémy a další. Neexistuje žádné rozumné zdůvodnění, pokud jde o to, že hodnota 0 ^ 0 má jinou hodnotu než 1, nebo ji považovat za nedefinovanou, alespoň v kontextu celočíselných exponentů.
Někteří z vás se možná trochu trápí já píšu tak, protože to porušuje vše, co vás naučili – možná tolik úzkosti, že máte jen těžko uvažovat o možné platnosti toho, co jsem napsal, a chystáte se napsat nějaký komentář k odpovědi, kde mi řeknete, kde se mýlím. Abych vám nedovolil vypadat hloupě s chybnými komentáři, budu pokračovat a zabývat se tím, co očekávám, že přijde:
- „Moje učebnice a můj učitel řekli, že 0 ^ 0 není definováno, a mohli nemýlit se. “ Nerad vám to musím říkat a způsobit, že vaše bublina praskne, co se týče vašich učitelů a učebnic, ale v učebnicích středoškolských matematik (a jiných předmětů) je mnoho témat, která jsou příliš zjednodušená do té míry, že jsou nesprávná. Moje komentáře zde nejsou zamýšleny jako odložení učitelů matematiky na střední škole – mají náročný úkol a většina z nich opravdu chce dělat skvělou práci a pomáhat studentům v pokroku.Většina učitelů matematiky na středních školách neměla na univerzitním studiu matematiku – nejvíce se zaměřila na vzdělávání se specializací na matematiku. Dozví se o tom, jak si různí studenti myslí, jak různými způsoby vysvětlit různé body, jak najít a diagnostikovat problémy, které mají studenti s materiálem, a další velmi cenné věci, které přímo nesouvisí s matematikou. Tráví čas ve falešných učebnách i ve skutečných učebnách pod vedením skutečného učitele, aby si procvičili. Získají důkladný přehled o matematice, kterou by očekávali od výuky, což znamená na úrovni středních škol. Ve svém programu absolvují několik kurzů matematiky na univerzitě, ale zdaleka ne tolik nebo tak pokročilých, jaké by absolvoval major matematiky. Obory matematiky nic z toho nedělají, ale ve svých pokročilejších kurzech se více zaměří na to, co dělají skuteční, živí, profesionální matematici, a většina učitelů matematiky toto vystavení nedostane – neuvědomují si, jak matematici ve skutečnosti definují věci jako přirozená čísla a celá čísla, omezené vystavení matematikům používajícím pro úhlové míry namísto stupňů radiány (a nedostatek jednotkového symbolu pro úhly znamená radiány, nikoli stupně), nemít to, co profesionální matematici považují za vhodné pořadí operací (a, ne , není to PEMDAS, BODMAS, …) atd. Vaši učitelé matematiky učí to, co říká kniha, a neuvědomují si, že vás učí věci, které jsou v rozporu s tím, co dělají profesionální matematici.
- Zákony dělení exponentů: 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, což je nedefinováno, takže 0 ^ 0 musí být nedefinováno, protože jsou stejné. U druhého = byl proveden neplatný krok. Jedním ze zákonů dělení exponentů je b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n, ale aby bylo možné jej použít, má určitá omezení. Jedním z nich je, že aplikace zákona nesmí v žádném okamžiku generovat výraz, který zahrnuje převrácenou hodnotu 0 nebo dělení 0. Proto je použití tohoto zákona zakázáno, když b = 0, protože generuje nesmysly – a to je nesmysl, který chcete použít k „prokázání“ svého názoru. Omlouváme se, ale k prokázání věci nemůžete použít něco, co je tak nesmyslné, že je neplatné. Neplatné kroky představují neúspěšný důkaz. Také psaní věcí jako a = b = c , kde c není definováno, je neplatné – a a b může, ale nemusí být platný. Rovnice se nesmí používat, když je alespoň jedna ze stran nedefinovaná nebo jinak neplatná. Je zakázáno vyvodit závěr, že 1/0 = 1/0, protože obě strany jsou nedefinované, takže nemůžete říci, že jsou si rovni – jak byste mohli vědět, že dvě věci jsou si rovny, když ani nevíte, co ty dvě věci jsou zlý (a nemůžete mít žádnou představu, protože nemají žádnou definici).
- „0 ^ 0 je neurčitá forma, takže nemůže mít hodnotu – říká to moje učebnice kalkulu.“ Koncept neurčitých forem je velmi reálný a užitečný, pokud jej ponecháte v zamýšleném kontextu. Neurčité formy platí pouze v kontextu limitů – že se nemůžete podívat na tento formulář a určit, zda existuje limit, a pokud ano, jaká je tato mezní hodnota. Zápis 0 ^ 0 se vztahuje k hodnotě f (x, y) = x ^ y at (x, y) = (0, 0) – ne jaký je limit, protože x a y přístup 0 nezávisle na sobě. Může existovat limit, ale funkce tam není definována; může tam být definována funkce, ale limit neexistuje. Tyto dva koncepty spolu nemají nic společného, kromě toho, když selže jeden nebo oba (definování hodnoty a mezní hodnota), funkce není v daném okamžiku spojitá. Chcete-li říci, že limit má formu 0 ^ 0, znamená to, že ze samotné informace nelze určit, zda limit existuje a jakou má hodnotu. Tato skutečnost nemá nic společného s tím, zda 0 ^ 0 = 1 nebo není definována. Říká-li se 0 ^ 0 = 1, neznamená to, že limit ve tvaru 0 ^ 0 musí mít hodnotu 1.
- 0 ^ y = 0 pro všechny kladné y a x ^ 0 = 1 pro všechna nenulová x . (Mnoho lidí, kteří používají tento argument, zapomíná, že y nesmí být záporné a oba případy považují za symetrické.) Pokud za oba x a y , v jednom případě 0 ^ 0 = 0 a ve druhém případě 0 ^ 0 = 1 – rozpor , takže to nelze definovat. No, uvidíme. Existují dvě čísla, jejichž čtverec je 9: +3 a −3; druhá odmocnina 9 je tedy +3, ale druhá odmocnina 9 je −3. Máme rozpor, takže nesmí existovat žádná druhá odmocnina z 9 – musí to být nedefinováno.Ne, +3 je užitečnější odpověď než −3, takže definujeme √9 = 3. Skutečnost, že x ^ 0 = 1 nejen pro všechny nenulové skutečné x ale také pro všechny nenulové komplex x a dokonce i všechny nenulové čtverce x ; na druhou stranu, 0 ^ y funguje přímočarým způsobem pouze pro pozitivní reálné x —nezbytné reálné oblasti, nikoli imaginární, takže nemá větší smysl jděte s definicí, která má pouze jednu díru, místo abyste vážně zvážili možnost, která má nespočetné množství děr ? Výsledek 1 je mnohem, mnohem, mnohem užitečnější než 0 pro 0 ^ 0. Pokud jsme ochotni nazvat druhou odmocninu 9 jako +3, když je mnohem méně důvodů preference, o to více, abychom volali 0 ^ 0 = 1, když existuje velmi silný důvod pro preference. Pravidlo prázdného produktu vyžaduje volbu 1 a ne 0. Mnoho praktických aplikací považuje 1 za mimořádně užitečný výsledek, zatímco 0 nebo nedefinované by byly problematické výsledky. Žádná smysluplná aplikace nemá hodnotu 0 jako užitečný výsledek, proto zvolíme 1.
Odpověď
\ text {Podle binomické věty}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n – m} x ^ m
\ text {Výměna a = 1 a x za – 1}
(1 – 1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implikuje 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0} – \ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2} – \ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}