Nejlepší odpověď
Zde je postup, jak bych přišel s přibližným řešením:
Hodnota x musí být v intervalu [-1,1], protože je mimo tento interval x ^ 2> 1, který je mimo rozsah \ sin {x}. Může být dále omezen na interval [0,1], jako když -1 \ le x , \ sin {x} <0, zatímco x ^ 2> 0. V intervalu [0,1] existuje triviální řešení pro x = 0.
Pro x = \ frac {\ pi} {6}, \ sin {x} = \ frac {1} {2 } vzhledem k tomu, že x ^ 2 <\ frac {1} {2}. Protože pro mnohem větší x jasně máme x ^ 2> \ sin {x}, v intervalu (0,1] musí existovat alespoň jedno řešení. Navíc v tomto intervalu \ sin {x} má negativní druhou derivaci, vzhledem k tomu, že x ^ 2 má kladnou druhou derivaci, takže v intervalu je maximálně jedno řešení (0,1]. Jakmile křivka x ^ 2 předstihne křivku \ sin {x}, nemůže se znovu vrátit zpět.
Takže v (0,1] je právě jedno řešení. Chcete-li toto řešení odhadnout, použijte první dva členy Taylorovy řady pro sinusovou funkci a získáte x- \ frac {x ^ 3} {6} = x ^ 2. To se redukuje na x ^ 2 + 6x-6 = 0 nebo x = \ sqrt {15} -3 jako přibližné řešení. Na šest desetinných míst \ sqrt {15} -3 \ přibližně 0,872983.
Pro srovnání, numerická aproximace dává řešení na šest desetinných míst jako x = 0,876726. Takže naše aproximace s pouhými dvěma členy Taylorovy řady byla docela blízká, ale ne dokonalá.
Odpověď
Pro takovou otázku je obvykle dobré grafovat funkce, abyste získali představu o tom, jak se chovají. ume chcete odpovědi na skutečné číslo.
Můžeme přidat 2x na obě strany a poté vydělit 2, abychom dostali x = 1,3 \ sin (x). Funkce sine je ohraničena mezi -1 a 1, takže se musíme zabývat pouze hodnotami x mezi -1,3 a 1,3. Graf y = x je pouze přímka. Graf y = 1,3 \ sin (x) je skloněn nahoru mezi -1,3 a 1,3, protože 1,3 je menší než pravý úhel a sinus se zvyšuje z – \ pi / 2 na \ pi / 2.
Pokud znáte nějaký počet, víte, že rychlost, s jakou se zvyšuje 1,3 \ sin (x), je dána 1,3 \ cos (x). Tato rychlost změny se zvyšuje a potom opět klesá (což se nazývá inflexní bod). Graf y = 1,3 \ sin (x) je konkávní od -1,3 do 0 a poté konkávní od 0 do 1,3. Je poměrně snadné si všimnout, že x = 0 je řešení. Protože sklon y = 1,3 \ sin (x) je v tomto bodě větší než sklon y = x, protíná se zdola nahoru. Nyní jsem se rozhodl, že bych měl zjistit hodnotu 1,3 \ sin (1.3). Nezapomeňte samozřejmě, že sinusová funkce platí pro úhly dané v radiánech. Je méně než 1,3.
V tomto okamžiku můžete odvodit podstatu situace. Tyto dvě funkce se třikrát protínají od -1,3 do 1,3. Volejte pozitivní řešení c. Z důvodu symmatry (1.3 \ sin (-c) = – 1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) je záporné řešení -c. Konkávnost 1,3 \ sin (x) brání tomu, aby existovala jiná řešení. Zbývá tedy jen přijít na to, co je c.
Věc, kterou někteří studenti považují za zvláštní, je, že pro řešení podobné rovnice často neexistuje žádná „uzavřená forma“. Můžeme říci, že existuje řešení mezi 0 a 1,3, ale věřím, že v tomto případě pro něj nemáme vzorec, pokud jde o známé funkce. Pokud se s tím chcete vypořádat, musíte se rozhodnout, co o tom potřebujete vědět.
Chcete-li to vypočítat s určitou přesností, existuje několik metod. V tomto případě funguje naivní přístup. Pokud vezmete hodnotu x mezi 0 a 1,3, pokud je menší než řešení, pak 1,3 \ sin (x) je větší a pokud je větší než řešení, pak 1,3 \ sin (x) je menší. Takže pokud stále nahradíte svoji hodnotu x 1,3 \ sin (x), přiblíží se to ke kořenu. Řekněme tedy, že začínám x = 1,0. Pak 1,3 \ sin (1) = 1,9039 … tak to použijte jako hodnotu x další. Tento proces konverguje k řešení, i když ne příliš rychle, protože každý krok přináší hodnotu o něco blíže řešení.
Druhou metodou je rozdělení intervalu. Takže bychom mohli zkusit vyhodnotit 1,3 \ sin (1.1) a 1.3 \ sin (1.2), abychom získali první desetinné místo řešení. Vzhledem k tomu, že 1.3 \ sin (1.1) <1.1, zatímco 1.3 \ sin (1.2)> 1.2 se zdá, že kořen je mezi 1.1 a 1.2. Pak můžeme zkusit 1,3 \ sin (1,15) zjistit, zda je řešení menší nebo větší než 1,15. Tato metoda také nekonverguje tak rychle, i když funguje dobře v některých situacích, kdy první metoda nikoli.
Existují i některé další metody ( Root- nálezový algoritmus – Wikipedia ), zejména secanová metoda a Newtonova metoda. Sbližují se rychleji.
Metoda secant udržuje dvě aproximace na obou stranách, například 1.1 a 1.2. Pak předstíráme, že oba grafy jsou přímky, abychom získali přibližné řešení. Výpočet není tak jednoduchý, i když ve skutečnosti není zahrnut.
Newtonova iterace spočívá v tom, že nakreslíte tečnou čáru ke křivce, abyste se přiblížili, kde se tyto dvě křivky protínají, a poté opakujte. Pokud začínáte s hodnotou dostatečně blízko kořenu, obvykle se sbírá přiměřeně rychle.Počet číslic přesnosti se obvykle zdvojnásobuje s každým krokem (i když se zdá nepravděpodobné, že by někdo chtěl více číslic přesnosti do kořenového adresáře).