Nejlepší odpověď
Ano, je to v přestrojení problém Monty Hall. „Přepnutí“ v tomto problému je jen způsob, jak zdůraznit, že jedna pravděpodobnost je jiná než druhá. V tomto problému byste raději měli dveře, které hostitel mohl otevřít, ale ne. Tady byste byli raději vězněm, kterého mohl dozorce pojmenovat, ale ne. Totéž.
A je špatně. Myslí si, že se naučil jen informace o B, a nic o A nebo C. Ale se dozvěděl něco o C: dozorce ho mohl pojmenovat, ale ne t. Kvůli převrácení mince by 50\% času, kdy by A byla omilostněna, dozorce pojmenoval C. Ale on by jmenoval B 100\% času, kde by C byla omilostněna. Tento poměr – 50\% až 100\% – díky němu je nyní dvakrát větší pravděpodobnost, že bude C omilostněn.
Historický problém: Citovaný problém byl původně publikováno v říjnovém (myslím) čísle Scientific American z roku 1959 od Martina Gardnera. Ve stejném čísle se omluvil za nesprávnou odpověď na tuto otázku:
- Mr. Smith má dvě děti. Alespoň jeden z nich je chlapec. Jaká je pravděpodobnost, že obě děti jsou chlapci?
Původně řekl, že odpověď je 1/3. Avšak předložená otázka je nejednoznačná; záleží na tom, jak jste se dozvěděli, že alespoň jedno dítě bylo chlapec.
Pokud to bylo proto, že jste se zeptali „Je alespoň jedno chlapče? “, pak je 1/3 správná. Pokud jste se však naučili jen náhodný fakt, což znamená, že jste se také mohli naučit „alespoň jedna je dívka“, pak je odpověď 1/2.
Problém dvou dětí je ve skutečnosti jen variantou problému tří vězňů se čtyřmi vězni místo tří, nebo problému Monty Hall se čtyřmi dveřmi. Gardner položil Tři vězně, aby objasnil, jak tyto problémy fungují, a zahrnoval část o převrácení mince konkrétně ukázat, jak odpověď určuje proces, kterým jste informace získali, nikoli informace samotné.
Odpověď
Problém tří vězňů lze lépe pochopit, pokud se budeme držet spíše podmíněných pravděpodobností než pravděpodobností zadních.
Takže tři vězni A, B, C jsou v cele smrti a jeden z nich byl omilostněn na základě náhodné hry. Vězeň A žádá dozorce, aby alespoň odhalil jméno jednoho z ostatních vězňů, který nebyl prominut.
Položením této otázky A vytvořil dvě skupiny.
- Skupina I – zapojení A samostatně.
- Skupina II – zapojení B a C.
Odpovídající těmto dvěma skupinám existují dvě události:
- Někdo ze skupiny I je omilostněn. (A sám).
- Někdo ze skupiny II je omilostněn (B nebo C).
Protože oba tyto události jsou rovnocenné, pravděpodobnosti obou událostí jsou \ frac {1} {2}. Ve druhé skupině jsou pravděpodobnosti volby B nebo C opět \ frac {1} {2}.
Dozorce nyní jmenuje B jako vězně, který nebyl prominut.
Protože dozorce neřekl nic o vězni C, znamená to, že pravděpodobnost druhé události (někdo prominut ze skupiny zahrnující B a C) je stále stejná – \ frac {1} {2}.
Ale protože B byla vyloučena, znamená to, že pravděpodobnost prominutí C ze skupiny II se nyní zvýšila z \ frac {1} {2} na 1 !!! To je jeho šance na získání milosti se zdvojnásobila !!!
Na druhou stranu ze stejného důvodu, protože dozorce neřekl nic o vězni A, pravděpodobnost první události (někdo je odpuštěn z první skupina) je stále stejná – \ frac {1} {2}.
Otázka zajatce A tedy neposkytuje A žádné nové informace o jeho osudu. Na druhou stranu vězeň C (kterému A dal tyto informace) nyní ví, že jeho šance na získání milosti se zdvojnásobily.
To je vše, co potřebujete vědět, abyste pochopili podstatu tří vězňů Problém. Pokud však chcete ověřit svou intuici pomocí Bayesova vzorce. Můžete tak učinit, jak je uvedeno níže:
Bayesova formulace problému tří vězňů
Nechť A, B a C jsou události odpovídající osvobozeným vězňům A, B a C.A nechť b je událost, kterou dozorce řekne A, že má být popraven vězeň B, pak pomocí Bayesovy věty je zadní pravděpodobnost prominutí A:
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
Pravděpodobnost C prominutí na druhé straně je:
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
Takže zadní pravděpodobnost omilostnění A zůstává stejná jako apriori pravděpodobnost (\ frac {1} {3}), zatímco pravděpodobnost omilostnění C je dvojnásobná.
Vliv podmíněných pravděpodobností na zadní pravděpodobnosti můžete vidět v termínech P (b | A) (\ frac {1} {2}) a P (C | b) (1).