Nejlepší odpověď
Jak prokážete, že identita do značné míry závisí na tom, jak pomyslete na sínus a kosinus.
Pokud si myslíte, že sínus a kosinus jsou poměry stran pravoúhlého trojúhelníku (jako na střední škole, kde učí sinus jako protiklad přes přeponu), dostanete pravý trojúhelník se stranami a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (druhý Pythagorovým trojúhelníkem) a \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
Pokud uvažujete o sinu a kosinu jako o souřadnicích bodu na jednotkové kružnici (parametrizováno arclength kruhu), pak podle definice jednotkové kružnice splňuje každý bod x ^ 2 + y ^ 2 = 1, takže bod (\ sin \ theta, \ cos \ theta) ano, takže \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1.
Sinus a kosinus lze také definovat jako nezávislá řešení diferenciální rovnice f = -f, s \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos 0 = 0. Protože existují pouze dvě nezávislá řešení rovnice , a je snadné vidět, že f ^ {(n)} je řešení, musí platit, že \ sin x, \ sin x, \ sin x nemohou být nezávislými řešeními. Ve skutečnosti \ sin x = – \ sin x, tak \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, takže \ sinx = \ cos x, \ cos x = – \ sin x . Z toho můžeme implicitně rozlišit \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x a získat 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cos x = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( – \ sin x) = 0. Takže hodnota \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x je konstanta a při hodnocení na 0 dostaneme \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1, takže \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
Sinus a kosinus lze definovat také pomocí mocninové řady \ sin x = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ Cos x = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (- 1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}. Pečlivé rozšíření těchto výkonových řad ve výrazu \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x zobrazí všechny výrazy zahrnující x ^ n zrušení a jako hodnotu ponechá pouze konstantní člen 1.
Odpověď
Abychom o tom přemýšleli, musíme zvážit, jaké jsou trigonometrické poměry. Víme, že sinusový poměr se rovná úhlu naproti straně přes přeponu z úhlu, nebo o / h. Víme také, že kosinový poměr se rovná přilehlé straně k úhlu přes přeponu nebo a / h. Dále vidíme, že oba tyto poměry jsou čtvercové, což znamená, že trigonometrická identita, sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1, je ekvivalentní (o / h) ^ 2 + (a / h) ^ 2 = 1, což se rovná o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2. Jelikož máme společného jmenovatele, můžeme tyto dvě rovnice kombinovat a získat (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2. Pak se na to můžeme podívat a uvědomit si, že definujeme všechny strany trojúhelníku. Z Pythagorovy věty víme, že a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Vidíme, že protože každá z těchto hodnot o, a a h jsou různé strany trojúhelníku, jsou rovny a, b a c. Hodnota c v Pythagorově větě je přepona pravoúhlého trojúhelníku, takže víme, že h = c. To znamená, že a a b se rovnají o a a. Nezáleží na tom, které písmeno je přiřazeno, protože výsledky se nezmění. Pak můžeme vidět, že prostřednictvím Pythagorovy věty víme, že a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, vedoucí k o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2. To znamená, že můžeme nahradit čitatel naší předchozí rovnice, což je ekvivalentní (h ^ 2) / (h ^ 2). Nakonec víme, že jakákoli proměnná dělená sama o sobě se rovná 1, proto se tato rovnice rovná 1. Pokud se vrátíme zpět k původní rovnici, dokázali jsme, že sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.