Nejlepší odpověď
Chcete-li to dokázat, použijte vzorec odčítání sine.
tj. sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
Zde a = π a b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)} – {- 1 × sin (x)}
= 0 – {- sin (x)}
= sin (x)
Proto prokázáno
Odpověď
Důkaz 1:
Nejjednodušší způsob prokázání
cos (π / 2 – x) = sin x
je vložení A = π / 2, B = x do trigonometrického vzorce
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
a získat
cos (π / 2 – x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
Nahrazení cos π / 2 = 0 a sin π / 2 = 1 v (2),
cos ( π / 2 – x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2 – x) = sin x (prokázáno)
Důkaz 2:
Nechť ABC je trojúhelník kolmý na B. Nechť AB je základna a AC přepona. Pokud označíme úhel C x, základní úhel A = (π / 2 – x), takže A + B + C = π / 2 – x + π / 2 + x = π nebo 180 °.
Nyní pro základní úhel A je BC kolmá.
∴ cos A = cos (π / 2 – x) = základna / přepona = AB / AC ………… .. (3 )
Pro úhel C je AB kolmý, a proto
sin C = sin x = kolmý / hypotenuse = AB / AC ……………. (4)
Rovnice (3) a (4),
cos (π / 2 – x) = sin x (prokázáno)
Důkaz 3:
Použijte Eulerův vzorec
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
, který definuje symbol eⁱᶿ pro jakoukoli skutečnou hodnotu θ. Zde i = √-1.
∴ Do vzorce můžeme dát θ = (π / 2 – x) a napsat
e ^ i (π / 2 – x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nebo e ^ iπ / 2. e ^ (- ix) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nyní e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i a e ^ (- ix) = cos x – i sinx
∴i. (Cos x – i sin x) = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x)
Nebo, i cos x + sin x = cos (π / 2 – x) + i sin (π / 2 – x) [Protože i² = -1]
Rovnání skutečné a imaginární části,
cos (π / 2 – x) = sin x (prokázáno)
a cos x = sin (π / 2 – x)
Závěrečné poznámky:
Ze tří zde prezentovaných metod pro prokázání daného tvrzení by měla být preferovanou metodou Proof 1. Je to proto, že je jednoduchá, přímá a rychlá. Průměrný student to zvládne mentálně asi za 30 sekund. V důkazu 2 existuje prostor pro nejasnosti ohledně toho, která je základna, která je pravou kolmou, kterou je třeba vzít. Kromě toho je třeba věnovat více času nakreslení trojúhelníku, označení stran, úhlů atd. Důkaz 3 je v pořádku; ale jen málo z nich je pohodlných nebo dobrých v práci se složitými funkcemi. Metoda zahrnuje více algebry než ostatní metody; ale dává bonus, jmenovitě: dokazuje vzorec cos x = sin (π / 2 – x).