Nejlepší odpověď
Složité číslo je dvoudílné číslo. Má skutečnou část a imaginární část. Máme tendenci psát to ve tvaru,
a + bi, kde i je druhá odmocnina záporné, tj. (-1) ^ (1/2)
Mezitím , čtverec čísla je početkrát sám. To znamená, že
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
S něčím podobným jsme se setkali, když jsme uvažovali o faktorech kvadratických rovnic. Existuje systematický přístup k rozšiřování součinu dvou dvoudílných faktorů. Možná jste se setkali se zkratkou „FOIL“:
- Vynásobte dva F první výrazy
- Vynásobte dva O termíny
- znásobte dva i nové termíny
- Znásobte dva L ast termíny
Shrňte čtyři termíny odpovědi
Použít stejný přístup FOIL s (a + bi) * (a + bi), získáním
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Můžeme trochu reorganizovat. Prostřední dva výrazy jsou stejné, takže je můžeme vyjmenovat jednou, ale vynásobíme je dvěma.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
A nyní, podívejte se na ten poslední výraz a uvědomte si, že druhou mocninu součinu lze zapsat jako součin samostatných čtverců. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Použijme toto pravidlo:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Ale „i“ je druhá odmocnina -1. Druhá odmocnina čísla je číslo samotné. Takže (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Zapojme to.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Ten poslední výraz je stále ošklivý. Můžeme dojíždět „krát negativní“) na druhou stranu a přepsat celý výraz jako odčítání.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Ale při pohledu na výraz, nenásledujeme formát skutečné části následovaný imaginární částí. Máme skutečnou část, imaginární část a další skutečnou část. Pojďme seskupit skutečné části dohromady.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Odpověď
Nejprve si představte komplexní číslo, a + bi jako uspořádaný pár (a, b ). V KOMPLEXNÍ PLÁNĚ s vodorovnou SKUTEČNOU OSOU, kde je normálně osa x, a svislou IMAGINÁRNÍ OSOU, kde je normálně osa y, normálně grafujete bod (a, b). Nyní, vzdálenost od počátku k bodu (a, b), myslím, že se nazývá MODULUS komplexního čísla, řekněme tomu r.
Víme, že r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) větou PYTHAGOREAN. (Omlouvám se za notaci, ale tím jsem omezen.)
Také úhel mezi kladnou osou Real a přímkou od počátku k (a, b) zavoláme Thetu (použijme k tomu T). (Říká se tomu ARGUMENT komplexního čísla)
Nyní. Komplexní číslo a + bi lze v POLAR FORM zapsat jako
a + bi = r (Cos T + iSin T) od
a = r CosT a. b = r Sin T
Chcete-li vzít druhou odmocninu a + bi, použijte polární tvar.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Takže, aby toto jednoduché, stačí se podívat na graf komplexního čísla a + bi, s přímkou od počátku do (a, b). Nyní otočte čáru do poloviny zpět k ose x a zkrátte ji na druhou odmocninu, pokud byla. Souřadnice tohoto koncového bodu je druhá odmocnina komplexního čísla druhá odmocnina je odtud jen 180 stupňů.
Chcete-li to dokázat, vezměte druhou odmocninu Z = -4
Graf je bod na záporné reálné ose , 4 jednotky nalevo od počátku. Úhel T = 180 stupňů.
Chcete-li vzít druhou odmocninu z -4, stačí otočit čáru zpět o 90 stupňů (polovina z 180) a zkrátit její délku na 2 druhou odmocninu ze 4. Navineme 2 jednotky na imaginární ose. SO druhá odmocnina z -4 je 2i. A druhá odmocnina je -2i, vzdálená 180 stupňů.
V symbolech:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
a 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Chcete-li získat druhou odmocninu z (i)
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= radikál 2 nad 2 + (i) radikál 2 nad 2.