Nejlepší odpověď
Při prohlížení dalších již zveřejněných odpovědí nejsem vůbec spokojen s jejich úplností. … A jako zkušený lektor matematiky se cítím povinen poskytnout nezkrácenou odpověď.
Uvedený vzorec cos (2x) je jednou ze tří identit dvojitého úhlu pro kosinus. Řešení této rovnice pro sin (x / 2) má za následek poloviční úhel identity pro sine.
Upozorňujeme, že kde Označil jsem *. Jedno z méně známých pravidel trigonometrie naznačuje, že můžete ekvivalentně rozdělit všechny argumenty funkce trigonu stejnou konstantou na obě strany rovnice. Ve skutečnosti můžete jakoukoli konstantu rozdělit. ale to nemusí být vždy užitečné. Zkuste vyřešit výše uvedenou rovnici pro sin (x / 3), pak pomocí ní najděte sin (pi / 12). Funguje to nádherně.
Chcete-li nyní skutečně použít vzorec sin (x / 2), musíte s danou rovnicí manipulovat pomocí ekvivalentního komplexního zlomku, jak je znázorněno zde:
To je samozřejmě demonstrováno na prvním obrázku výše. Kromě znalosti / odvození identity s polovičním úhlem je její největší výzvou její uplatnění.
Odpověď
I. Pojďme použít přístup k řešení problémů známý jako ekvivalence .
S tímto přístupem zvolíme výhodný objekt nebo sadu objektů a podíváme se na ně z různých … úhlů s nadějí, že v tomto procesu můžeme odvodit plodný vztah.
Jedním takovým objektem nebo představou může být čtvercová plocha .
Začneme pravým trojúhelníkem, jehož přepona je jednota, zvolíme úhel x a označíme délky stran trojúhelníku jako \ cos x, s čím souhlasíme jako s trojúhelníkem výška a \ sin x, s nimiž se dohodneme jako s základnou :
Potom vezmeme za prokázanou skutečnost, že čtvercová plocha trojúhelníku je polovičním součinem jeho základny e přes výšku:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Další krok je docela náročné, protože ve vakuu opravdu nevíme přesně, co nás čeká na druhé straně 2 \ sin x \ cos x. Z pohledu objevitelů hledíme do propasti neznáma. Říkejte tomu intuice, šťastná myšlenka nebo jen nos, ale uvažujeme takto:
ok, našli jsme způsob, jak připojit konkrétní představu (čtvercovou plochu) k jinak abstraktnímu a řekněme si to to, poněkud záhadný výraz, ale – ne přesně, protože tam musíme stále pracovat s faktorem 2.
Jak to můžeme udělat?
No, a co tak sousedit se dvěma stejnými trojúhelníky společně?
Pak výška, nebo \ cos x v našem žargonu, zůstává stejná, ale vyhrajeme svařením dvou identických základen, \ sin x v našem žargonu, do jednoho:
Všimněte si, že pedanticky sledujeme / interpretujeme váš výraz.
Nyní je čas na ekvivalence stát vysoko a počítat. Nový složený tvar je stále trojúhelník a jeho čtvercová plocha je stále:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
ale máme právo dívat se na stejný tvar odlišně: pokud zacházíme se stranou délky 1 jako s podstavcem, pak kolmo k ní, zobrazené červeně, je výška. Ale úhel v horním vrcholu je 2x. Proto je nová výška podle definice:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Proto může být stejná čtvercová plocha stejného trojúhelníku vykreslen jako:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Ale ( 2 ) a ( 4 ) představují stejnou velikost. Proto:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ značka * {}
odkud zjistíme, že:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Pro podobnou, ale gramotnější léčbu začněte se stejným trojúhelníkem jako výše a zdvojnásobte délku jeho \ sin x strany vytvořením kruhu \ sigma se středem v B a poloměrem BA:
Ale nyní AC protíná \ sigma na E (pokud x 5 ^ {\ circ}) a buď Thaleovou větou, nebo Euclidova B3P31 (úhel v půlkruhu je pravý) úhel v E je pravý:
a protože pravé trojúhelníky ABC a AED sdílejí společný úhel \ theta, vyplývá z toho, že \ úhel ADE = x az \ trojúhelníku AED pro ED máme:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Ale z pravoúhlého trojúhelníku CED pro ED máme:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
a proto:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(můžete o tom uvažovat jako o hubenější ekvivalenci, protože jsme použili délku úsečky k překlenutí mezery mezi dvěma kusy dohromady)
III. se vší pravděpodobností se tato verze může zdát příliš pokročilá, ale přesto ji ukážu a ze dvou důvodů. Jedním z důvodů je prokázat, že v matematice existuje nejen mnoho různých způsobů, jak dosáhnout stejného výsledku, ale některé z těchto způsobů se mohou zdát překvapivé. Další důvod – budete se mít na co těšit.
V určitém okamžiku svého matematického vzdělávání se můžete setkat s těmito objekty zvanými komplexní čísla . S těmito čísly lze zaznamenat naše dvě trigonometrické funkce následovně (díky skvělému švýcarskému matematikovi Leonardu Eulerovi (1707–1783)):
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
kde e je Eulerovo číslo a já mám tuto zvláštní vlastnost, že i ^ 2 = -1, ale na okamžik to všechno ignoruji a prostě vynásobte výše uvedené dvě frakce podle pravidel středoškolské algebry:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
podle ( 5 ).