Nejlepší odpověď
Použil bych identitu \ cos 2x \ equiv 1-2 \ sin ^ 2 x, nebo
\ sin ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1- \ cos 2x).
Takže \ sin ^ 4 x \ equiv (\ sin ^ 2 x) ^ 2 \ equiv \ left (\ frac {1} {2} (1- \ cos 2x) \ right) ^ 2 \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x).
Nyní použijte identitu \ cos 2x \ equiv 2 \ cos ^ 2 x – 1, nebo
\ cos ^ 2 x \ equiv \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2x).
Takže získáme
\ sin ^ 4 x \ equiv \ frac { 1} {4} (1-2 \ cos 2x + cos ^ 2 2x) \ equiv \ frac {1} {4} (1-2 \ cos 2x + \ frac {1} {2} (1+ \ cos 4x )) \ equiv \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ cos 4x \ sin ^ 4 x \ equiv \ frac {1} {8} \ cos 4x – \ frac {1} {2} \ cos 2x + \ frac {3} {8}.
Odpověď
Toto cvičení naznačuje použití vzorců polovičního úhlu k vytvoření nových výrazů nižšího stupně. Je těžké to vidět bez kontextu, takže si všimněte, že tyto problémy lze vždy vyřešit pomocí polovičních vzorců.
Můžeme tedy rozdělit původní výraz na produkt dvou (sin x) ^ 2 výrazů a pokračovat v použití druhého vzorce na obrázku, který jsem přidělil.
Násobením a rozbalením získáte
1/4 (1 – 2cos2x + (cos 2x) ^ 2)
Ach ne! Vypadá to, že ještě nejsme hotovi! Žádný strach, podívejte se na první vzorec na mém přiloženém obrázku a nahraďte čtvercový výraz výrazem. Všimněte si, že začínáme s 2x a musíme to zdvojnásobit na 4x místo přesně toho, co je napsáno ve vzorci. Nahraďte tedy a výtěžek:
1/4 (1- 2cos2x + 1/2 (1 + cos4x))
Pak získejte společného jmenovatele a přesuňte jej ven pomocí 4, zvenčí 1/8.
1/8 (2-4cos2x + 1 + cos4x)
Zkombinujte podobné výrazy pro naši konečnou odpověď
1/8 (cos 4x – 4cos2x + 3)
Skvělá otázka!