Nejlepší odpověď
Jak řeším tan theta = -2?
Za tímto účelem začneme pomocí funkce arctan , která je inverzní funkcí funkce tangens funkce a najde hodnotu \ theta takovou, že \ tan (\ theta) = -2.
Hodnotu můžeme vypočítat, ale toto je komplex „postup zahrnující„ imaginární “čísla. Vypadá to jako spousta potíží, takže použití sady tabulek by bylo snazší, i když možná o něco méně přesné. I když mám starou sadu v podkroví svých rodičů, není mi to v současné době k ničemu, tak pojďme hledat na internetu nějaké tabulky. Počkejte, pokud mám přístup k internetu, proč neuvidět, zda za mě může výpočet udělat internet?
No, tato přiblížení jsou pravděpodobně přesnější, než potřebujeme, ale zatím se jich budeme držet.
Možná se vám nelíbí představa negativních úhlů? Nebojte se, je snadné je převést na kladné úhly přidáním 2π radiánů / 360 °.
Máme tedy 5,17603659 radiánů / 296,5650512 °
Ale ještě jsme nedokončili !
Funkce arctan pouze vrátí úhly v exkluzivním rozsahu (-0,5 \ pi, 0,5 \ pi), tj. (- 90 ^ {\ circ}, 90 ^ {\ circ}). Existují tedy další úhly, jejichž tangenta hodnota je -2?
Nejprve funkce tangens dává zápornou hodnotu, když je úhel ve druhém a čtvrtém kvadrantu, konkrétně když jsou úhly ve výlučných rozmezích (90 ^ {\ circ}, 180 ^ {\ circ}) a (270 ^ {\ circ}, 360 ^ {\ circ}). Řešení již máme ve čtvrtém kvadrantu, jaké je tedy řešení ve druhém kvadrantu? To je na východ, stačí vzít π radiány / 180 ° z řešení ve čtvrtém kvadrantu.
Proč? Z vzorce složeného úhlu pro funkci tangenta máme:
\ tan (\ theta – \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) – \ tan (\ pi)} {1 + \ tan (\ theta) \ tan (\ pi)} = \ tan (\ theta) – jako \ tan (\ pi) = 0
To nám dává naše druhé řešení, 2,03444393 radiánů / 116,5650512 °
Zadruhé, funkce tangenta je periodická, s období 2π radiánů / 360 °; to znamená, že přidání libovolného násobku 2π radiánů / 360 ° do našeho úhlu vrátí stejnou tangensovou hodnotu .
\ tan (\ theta + 2 \ pi) = \ frac {\ tan (\ theta) + \ tan (2 \ pi)} {1 – \ tan (\ theta) \ tan (2 \ pi)} = \ tan (\ theta) – jako \ tan (2 \ pi) = 0
Takže pomocí k k reprezentaci libovolného celého čísla je naše úplná sada řešení:
(2.03444393 + k \ pi) \ radiány nebo (116.5650512 + 360k) ^ {\ circ}
Odpověď
Připomeňme si to sec (theta) = 1 / (cos (theta). Pak máte
Cos ( theta) + 1 / (cos (theta) = 3, což je kvadratická rovnice v cos (theta). Dva kořeny této rovnice jsou (3 + – sqrt (5)) / 2, které jsou ve skutečnosti 1 + – phi, kde phi je slavný „Golden Ratio“ a jsou kořeny kvadratického x ^ 2 – x – 1.
Protože phi je kořen, dělení této rovnice phi ^ 2 ukazuje, že druhý kořen je -1 / phi. A protože phi + 1 = phi ^ 2, máme, že kořeny vaší původní rovnice jsou phi ^ 2 a 1 / phi ^ 2. Protože kosinus musí být 1, musíme použít menší kořen .
Pokud je n-tý Fibonacciho výraz F (n), pak phi ^ n = F (n + 1) phi + F (n). (Důkazem je indukce na n, pomocí Fibonacciho definice F (n + 1) = F (n) + F (n-1) v posledním kroku.) Chcete tedy ukázat, že phi ^ 6 + 1 / phi ^ 6 = 18. 6. a 7. F jsou 5 a 8. Takže jste vyhodnotili
8phi + 5 + 1 (8phi + 5) = 8 (1 – sqrt (5)) / 2 + 1 / (8 (1 – sqrt (5)) / 2). Pokud to znásobíte a racionalizujete druhý termín, dostanete 9 – 4 (sqrt (5) + 9 + 4 (sqrt (5)) = 18.
QED