Nejlepší odpověď
Začněte pozorováním, že hřích 35 ° je blízko sin 30 ° = 1/2. Okamžitě tedy víme, že je to zhruba 1/2. To je přibližně 7\% skutečné hodnoty.
Zkusme získat lepší odhad. Podle identity přidání úhlu
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Nyní, protože 5 ° = π / 36 je relativně malý úhel, můžeme použít aproximace sin x ≈ x a cos x ≈ 1. Takže
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nyní π ≈ 22/7 a (√3 / 2) ≈ 7/4, protože 49/16 ≈ 3. Takže dostaneme
hřích 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Tím se liší od skutečná hodnota o méně než 1\%.
Další přístup spočívá v jejím výpočtu pomocí prvních pár výrazů v Taylorově rozšíření řady sin x . To je přesnost lepší než 0,1\%, ale těžší je to vypočítat ručně než 83/144.
Odpověď
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nyní Sin (3x), z obecného vzorce, se rovná 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, tedy uvedení x = 10 stupňů, což dává Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 a proto
3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 nebo manipulací s touto rovnicí a dosazením Sin (10) = y dostaneme
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Vyřešte tuto kubiku pomocí numerické iterativní metody, například metodou Newton-Raphsona, abyste po slogu dostali:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Je zřejmé, že můžete přejít na méně čísel podle toho, jaká je vaše požadovaná přesnost.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0,9848077530122.
Vložte hodnoty pro Cos (10) a Sin (10) do (1) výše a získejte:
Sin (35) = 0,57357643639, jak je požadováno.