Nejlepší odpověď
Chápu, že tu chcete odpověď. Záhyb je tradičně hodnota věci; ergo, jednorázový nárůst je 100\%. To však vyvolává zmatek, protože většina lidí považuje dvojnásobný zájem za dvojnásobnou hodnotu (200\%) věci – populární definici. Dokonce i Collinsův slovník matematiky definuje „-fold“ ve smyslu „times“, protože v „two-fold“ se rovná „dvakrát“, což se rovná double. Někteří vědci používají „fold“ jako synonymum pro matematický výraz „ krát, „jako„ trojnásobně větší “znamená„ třikrát větší “. Jiní však trvají na tradičním použití „skládání“ k popisu celkové hodnoty věci; „60 je tedy jednorázově větší než 30.“
Jsem si jistý, že vám to neusnadní rozhodování – populární verze oproti tradičnějšímu použití – ale vyhnete se nesprávné interpretaci, při každodenním používání se možná budete chtít držet populární definice.
Odpovědět
Zajímavá otázka. Pojďme si ji rozdělit.
- Proč se vypočítávají determinanty ?
Upřímně řečeno, na Zemi neexistuje jediný důvod, proč byste měli vypočítat determinant, kromě případů, kdy je požadován v testu lineární algebry. Determinanty se používají v důkazu existence řešení na soubor lineárních rovnic ve tvaru Ax = b, ve kterém hrají hlavní roli determinanty. Cramerovo pravidlo – Wikipedia
Toto přivedl mnoho zavádějících duší k závěru, že toto pravidlo je dobrým způsobem vypočítat uvedené řešení. Není. Vysvětlím proč.
2. Proč se determinanty počítají způsobem, jakým se počítají
První věc, kterou se v lineární algebře 101 naučíte, je rozbalit determinant podél řádku nebo sloupce, který lze rekurzivně formulovat jako
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
ve kterém A\_ {kj } je submatice, kterou získáte vyřazením k-tého řádku a j-tého sloupce A. To je v pořádku, pokud je vaše matice 3 \ times3 nebo 4 \ times 4, bude nudná, když n = 5 a nebude možné ji vrátit pro větší n . Ale máme počítače, že? Dobře. Pojďme to udělat vědecky a počítat operace. Nechť T\_n je počet operací pro výpočet n \ krát n determinantu tímto způsobem. V kontextu lineární algebry je „operací“ násobení následované sčítáním. Pak jasně
T\_n = nT\_ {n-1}
Hej! Nezvoní to? Ano, toto je fakultní funkce a T\_n = n !. Teď, kdybychom měli počítač, který dokáže provádět 10 ^ {20} operací za sekundu, což by se mohlo stát, kdyby kvantové počítače byly funkční a museli jsme vypočítat determinant 100×100 podle rozšíření řádku nebo sloupce, což bychom potřebovali
100! = 9.3326E157
operace. A 100 \ times100 není nadměrné, průmyslové aplikace se často dostávají do milionů. Nyní má rok 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 sekund, takže nemůžeme dělat více než 3,2E27 operací ročně, což je jen kapka do oceánu 9,3E157. Přesněji řečeno, potřebovali bychom rok 3E130 a vzhledem ke skutečnosti, že odhadovaný věk vesmíru je 13,8E9 (6E3, pokud jste kreacionistou), nám zbývá pár let.
Závěr: toto není dobrý způsob výpočtu determinantu.
A k výpočtu řešení podle Cramerova pravidla byste museli vypočítat 101 determinantů. Cramerovo pravidlo vůbec neuvádí! Má teoretickou, nikoli praktickou hodnotu.
Proto byste k výpočtu měli použít rozklad LU ( rozklad LU – Wikipedia ). determinant a jako další výhoda vám také poskytne řešení vašeho systému Ax = b. Počet operací pro LU je \ frac13n ^ 3. Chcete-li získat determinant, vynásobte všechny diagonální prvky U. (\ cal O (n)). Chcete-li získat řešení svého systému, Ax = b vyžaduje dalších n ^ 2 operací. Takže vše, co by vyžadovalo operace 3.34E5, a byli bychom připraveni za 10 ^ {- 14} sekund.
Sheldon Axler napsal text lineární algebry, který nepoužívá žádné determinanty https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
a jsem si jist, že Alon Amit („matice sát, pravidlo operátorů“) by to schválil.