Nejlepší odpověď
Původně odpověděl: Jaký je dobrý odhad kořene krychle ze 4?
N-tý kořen N je kořen x ^ nN = 0. Derivátem x ^ nN je nx ^ {n-1}, takže při počátečním odhadu kořene x je bližší odhad pomocí Newtonovy metody
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
což je průměr ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 z těchto}} \ text {a} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Tento vážený průměr má smysl, jakmile si uvědomíte, že x i \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} jsou odhady n-té kořene N, že jsou „vypnuty“ v opačných směrech , a že x je n-1krát lepší odhad než \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
~
Nyní použijeme metodu …
Nechť N = 4. Nechť x je váš odhad kořene krychle 4. Začněte dobrým odhadem, například x = 2. Potom vypočítejte
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ pro lepší odhad.
V tomto případě
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ přibližně 1,66666667…
Potom opakujte použití x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ krát 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ přibližně 1,5911111 …
Toto je přibližná hodnota pro 3 platné číslice, udělejme to tedy ještě jednou,
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ krát 358} {225} + \ dfrac {4 \ krát 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ přibližně 1,58740969614163 …
To je dobré asi pro 6 platných číslic. S každou iterací se počet správných číslic přibližně zdvojnásobí.
Odpovědět
V závislosti na tom, kolik toho v matematice víte, existují 2 možné způsoby –
- Použít logaritmy
- Použít iterační metody (metoda Bisection, metoda Newton-Raphson atd.)
Logaritmy- Take x = 2 ^ {1/3}
Takže log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0,30102999 = 0,100343 (přibližně)
proto x = antilog (0,100343) = 1,2599 (přibližně)
Iterativní metody- Ukážu metodu půlení, můžete zkusit ostatní, pokud chcete. (Proces je téměř stejný.)
Nechť x = 2 ^ {1/3}
Takže, x ^ 3 – 2 = 0
Nechť f (x) = x ^ 3 – 2
Vybereme dvě hodnoty tak, že jedna dává f (x) <0 a druhá dává f (x)> 0
Vidíme, že f (x) <0 pro x = 1 af (x)> 0 pro x = 2. Takže, x1 = 1, x2 = 2
Nyní vezmeme průměr těchto hodnot jako nové x
Takže nové x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1.5) = 1,375> 0
Vidíme, že 1,5 i 2 dávají hodnoty> 0, takže zahodíme 2, protože dává hodnotu f (x) více od 0. Ponecháváme pouze hodnoty x, které dávají hodnotu f (x) blíže k 0
Takže vezmeme x1 = 1 a x2 = 1,5
opět najdeme nové x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Nyní jsme discard 1 as 1.25 give value of f (x) blíže k 0
takže vezmeme x1 = 1.25 a x2 = 1.5
Opět najdeme nové x jako průměr z těchto 2 hodnot, dosaďte f (x), abyste viděli jeho znaménko, a v závislosti na tom vezmeme naše nové hodnoty x1 a x2.
Tento postup opakujte, dokud nebudete spokojeni se svou odpovědí (konečné x).
P.S. Tyto procesy nikdy nedají přesnou odpověď, musíte se zastavit u nějaké přibližné.